1计算题 ($5\times 12'=60'$).(1)设 ${\bf A}\in \bbR^{n\times n}$ 适合(a)$a_{ii}>0$, $i=1,2,\cdots,n$;(b)$a_{ij}0}, \eex$$ 则 ${\bf A}$ 的初等因子为 $$\bex \sed{(\la...
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2014-08-27 18:27:38
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1 ($15'$) 平面 $\bbR^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点, 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\vGa$ 为 $P$ 点的运动轨迹...
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2014-07-29 13:58:29
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1. 对定义域为全体 $n$ 阶矩阵的函数 $f: \bbR^{n\times n}\to \bbR$, 如果 $\dps{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}$ 对 $A$ 中每个元素 $a_{ij}$ 都存在, 则记 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f...
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2014-07-22 22:57:56
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设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$
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2014-07-18 08:39:54
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设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上任意阶可导, 且 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ f\sex{\frac{1}{n}}=0. \eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.
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2014-07-18 08:25:59
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1. 设 $f:\bbR\to \bbR$ 连续, 且满足 $$\bex \sup_{x,y\in\bbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty, \eex$$ $$\bex \vlm{n}\frac{f(n)}{n}=2014. \eex$$ 试证: $$\bex \sup_{x\i...
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2014-07-13 13:17:44
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[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛)设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.[再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The H...
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2014-07-03 12:23:37
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$\bf 题目$. 设 $\calX$ 是一个 $B$ 空间, $f:\calX\to \overline{\bbR}\sex{\equiv \bbR\cap\sed{\infty}}$ 是连续的凸泛函并且 $f(x)\not\equiv \infty$. 若定义 $f^*:\calX^*\to \...
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2014-06-30 14:13:16
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设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.证明: 由 $f\in L(\bbR)$ 知 $|f|\in L(\bbR)$ (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱...
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2014-06-30 13:52:50
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试说明能有无穷多个函数, 其中每个函数 $f$, 皆使得 $f\circ f$ 为 $\bbR$
上的恒等函数.
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2014-06-03 09:16:25
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