Let $A$ be a nilpotent operator. Show how to obtain, from aJordan basis for $A$, aJordan basis of $\wedge^2A$.
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2014-11-21 10:37:06
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Let $\scrM$ be a $p$-dimensional subspace of $\scrH$ and $\scrN$ its orthogonal complement. Choosing $j$ vectors from $\scrM$ and $k-j$ vectors from $...
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2014-11-21 10:24:43
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If $\dim \scrH=3$, then $\dim \otimes^3\scrH =27$, $\dim \wedge^3\scrH =1$ and $\dim \vee^3\scrH =10$. In terms of an orthonormal basis of $\scrH$, wr...
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2014-11-21 10:24:21
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Prove that for any vectors $$\bex u_1,\cdots,u_k,\quad v_1,\cdots,v_k, \eex$$ we have $$\bex |\det(\sef{u_i,v_j})|^2 \leq \det\sex{\sef{u_i,u_j}}\cdot...
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Show that the inner product $$\bex \sef{x_1\vee \cdots \vee x_k,y_1\vee \cdots\vee y_k} \eex$$ is equal to the permanent of the $k\times k$ matrix $\s...
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2014-11-21 10:20:49
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The elementary tensors $x\otimes \cdots \otimes x$, with all factors equal, are all in the subspace $\vee^k\scrH$. Do they span it?
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2014-11-21 10:18:30
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Show that the inner product $$\bex \sef{x_1\wedge \cdots \wedge x_k,y_1\wedge \cdots\wedge y_k} \eex$$ is equal to the determinant of the $k\times k$ ...
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2014-11-21 09:09:37
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在 Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices $A,B$ we have $$\bex |\per (AB)|^2\leq \per (AA^*)\cdot \per (B^*...
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2014-11-21 09:06:12
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这篇博客对应的是Andrew.Ng的那篇文章：An Analysis o f Single-Layer Networks in Unsupervised Feature Learning，文章的主要目的是讨论receptive field size，number of hidden nodes， s...
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2014-11-19 20:03:54
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Let $x,y,z$ be linearly independent vectors in $\scrH$. Find a necessary and sufficient condition that a vector $w$ mush satisfy in order that the bil...
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