4. 设 $A=\diag(A_1,\cdots,A_k)\in M_n$, 其中 $A_i\in M_{n_i}$, 且 $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$, $i\neq j$. 若 $B\in M_n$ 且 $AB=BA$, 则 $B=\diag(B_1,\c...
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2014-10-29 12:28:25
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9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗?
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2014-10-29 12:19:55
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12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 $A\in M_n$, $B,C\in M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是单位阵. 证明 $A+BC^*$ 可逆且 $$\bex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{...
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2014-10-29 10:42:35
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第一章 预备知识
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.1
1. 设 $a_1,\cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.
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2014-10-29 10:29:54
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14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?
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2014-10-29 10:23:25
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13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$\bex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4. \eex$$
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2014-10-29 10:21:35
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2. (Oldenburgere) 设 $A\in M_n$, $\rho(A)$ 表示 $A$ 的谱半径, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 证明: $$\bex \vlm{k}A^k=0\lra \rho(A)<1. \eex$$
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2014-10-29 09:12:14
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4. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 和谱范数 $\sen{\cdot}_\infty$ 满足如下关系: $$\bex \frac{1}{2}\sen{A}_{\infty} \leq w(A)\leq \sen{A}_\infty,\quad A\in M_n. \eex$$
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2014-10-29 09:12:04
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1. 设 $a_1,\cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.
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3. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数.
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2014-10-29 09:11:07
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