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本章堆排序内容是《算法导论》教材第二部分《排序与顺序统计量》的第一讲。
堆排序，这是一种O（nlgn）时间的原址排序算法。它使用了一种被称为堆的数据结构，堆还可以用来实现优先级队列。
数组R[1...n]中，n个关键字序列k1，k2，…，kn，当且仅当该序列满足如下性质（简称为堆性质，以大根堆为例）：
二叉堆是一个数组，它可以被看成是一个近似的完全二叉树。树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的，而且是从左到右填充。表示堆的数组A包括两个属性：A.length表示数组元素的个数；A.heap_size表示数组A有具有堆结构的元素个数。有：0=<A.heap_size=<A.length。A[1]是树的根节点。
通常给定节点i，我们很容易得到可以根据其在数组中的位置求出该节点的父亲节点、左右孩子节点：
#define PARENT(i) i/2 #define LEFT(i) i*2 #define RIGHT(i) i*2+1
根据节点数值满足的条件，可以将分为最大堆和最小堆，最大堆和最小堆除了需要满足堆的性质外还要满足：
- 含有n个元素的堆的高度是lgn；
- 堆结构上的基本操作的运行时间与树高成正比，即时间复杂度为：O(nlgn)；
- 当用数组表示存储了n个元素的堆时，最后一个非叶子节点是：n/2；叶子节点的下标是：n/2+1，n/2+2，……，n；
- 在最大堆中，最大元素该子树的根上；在最小堆中，最小元素在该子树的根上。
这里讲的维护堆的性质，主要是指维护堆当前节点的值都要大于左子节点值和右子节点值。当堆中数据变动时，通过维护函数能够调整树的结构中元素的位置，以使数组还能继续满足堆的性质。
这里我们构造一个函数：max_heapify()用来维护最大堆性质的重要过程。在调用max_heapify()的时候，我们假定根节点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树都是最大堆。max_heapify()就是通过让A[i]的值在最大值中“下沉”，从而使得以下标i为根节点的子树重新满足最大堆的性质。
图 2 max_heapify()函数调整i=2位置元素的执行过程
从上图中可以看出，A[2]违背了最大堆的性质，因为它的值不大于它的孩子，所以需要进行调整。根据教材中max_heapify()的伪代码的代码结构，我进行了C++实现的递归实现，函数max_heapify()的返回值为void：
//维护堆的性质：即使得结点i出左右子树的值小于该节点的值
void max_heapify(int *arr, int length, int i)
{
int left, right, largest;
int temp;
left = LEFT(i);
right = RIGHT(i);
if (left <= length && arr[left] > arr[i])
largest = left;
else
largest = i;
if (right <= length && arr[right] > arr[largest])
largest = right;
if (i != largest)
{
temp = arr[i];
arr[i] = arr[largest];
arr[largest] = temp;
max_heapify(arr, length, largest);
}
} max_heapify()函数的时间代价包括：
build_max_heap(A) 1 A.heap_size=A.length 2 for i = A.length/2 downto 1 3 max_heapify(A,i)C++代码实现：
//创建堆
void build_max_heap(int *arr, int length)
{
int i;
for (i = length / 2; i > 0; i--)
{
max_heapify(arr, length, i);
}
}
证明build_max_heap()的正确性：初始化：第一次迭代时：i=length/2，其他节点length/2 +1，length/2 +2，......n都是叶结点。因此节点i=1，......length/2，都是平凡最大堆的根节点。
保持：在for循环中，i的值依次递减，依次建立节点length/2-1，...... ，1的堆结构。
终止：当i=0时，退出for循环。
HEAPSORT(A) 1 BUILD_MAX_HEAP(A) 2 for i = A.length downto 2 3 exchange A[1] with A[i] 4 A.heap_size = A.heap_size - 1 5 MAX_HEAPIFY(A,1)C++代码实现：
//堆排序
void heap_sort(int *arr, int length)
{
int i, temp;
build_max_heap(arr, length);
i = length;
while (i > 1)
{
temp = arr[i];
arr[i] = arr[1];
arr[1] = temp;
i--;
max_heapify(arr, i, 1);
}
}下图显示了HEAPSORT(A)伪代码第2~第5行for循环第一次迭代开始前最大堆的情况和每一次迭代后最大堆的情况：
#include <iostream>
using namespace std;
#define PARENT(i) i/2
#define LEFT(i) i*2
#define RIGHT(i) i*2+1
//维护堆的性质：即使得结点i出左右子树的值小于该节点的值
void max_heapify(int *arr, int length, int i)
{
int left, right, largest;
int temp;
left = LEFT(i);
right = RIGHT(i);
if (left <= length && arr[left] > arr[i])
largest = left;
else
largest = i;
if (right <= length && arr[right] > arr[largest])
largest = right;
if (i != largest)
{
temp = arr[i];
arr[i] = arr[largest];
arr[largest] = temp;
max_heapify(arr, length, largest);
}
}
//创建堆
void build_max_heap(int *arr, int length)
{
int i;
for (i = length / 2; i > 0; i--)
{
max_heapify(arr, length, i);
}
}
//堆排序
void heap_sort(int *arr, int length)
{
int i, temp;
build_max_heap(arr, length);
i = length;
while (i > 1)
{
temp = arr[i];
arr[i] = arr[1];
arr[1] = temp;
i--;
max_heapify(arr, i, 1);
}
}
int main()
{
int arr[11] = {NULL, 13, 45, 32, 5, 21, 0, 23, 78, 90, 12};
cout << "----------------堆排序--------------------" << endl;
cout << "排序前：";
for (int i = 1; i < 11; i++)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
heap_sort(arr, 10);
cout << "排序后：";
for (int i = 1; i < 11; i++)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}
程序运行结果：
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原文地址：http://blog.csdn.net/xuyuqingfeng953/article/details/51036445
