机器学习算法笔记1_1:线性回归

形式

代价函数:

1. LMS(Least Mean Squares)算法

   1. 参数更新原则
      梯度下降法，参数沿着使代价函数下降最快的方向改变，其中$\alpha$为学习速率
      
      
      • 单样本更新
        
        
        可以看到，当误差($y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)})$)越大时，参数更新幅度越大，反之较小。
        这只是针对一个样本的情况，当有多个样本时，有以下两种方法更新参数
      • 批处理算法
        
      • 随机梯度下降法(stochastic gradient descent)
        
        由于批处理算法每次更新都需要浏览整个数据集，所以，通常来说(特别是训练街特别大的时候)，随机梯度下降法具有更快的收敛速度。

2. LMS的矩阵表示

   1. 矩阵知识

      1. 矩阵导数
         

      2. 迹
         

         • 如果AB是方阵则trAB=trBA，同理
           

         • 其他性质
           
           
           (4)中要求A为非奇异矩阵

   2. 矩阵表示LMS
      
      
      由(2)(3)可得
      
      所以
      
      其中第二步到第三步是因为$J(\theta)$是一个实数，而对于实数a有a=tr(a)；
      第三步到第四步是因为$trA=trA^T$;
      第四步到第五步利用了公式(5),其中$A^T=\theta,B=B^T=X^TX,C=I$
      当$J(\theta)$最小时，其对于$\theta$的导数为0，即有$X^TX\theta=X^Ty$即$\theta=(X^TX)^{-1}X^Ty$

3. 线性回归代价函数J解释

   • 形式：将目标变量和自变量通过下式联系起来：
     
     其中$\epsilon^{(i)}$是误差项并且假设它服从高斯(Gaussian)独立同分布(IID, independently and identically distributed)
     
     即
     
     为了强调这个函数是由$\theta$决定,我们将其称为似然函数：
     
     由于$\epsilon^{(i)}$是独立同分布的，所以
     
     根据最大似然法则，我们应该选择使上面似然概率最大的$\theta$，为了方便，将其化为下面的对数似然函数形式
     
     所以，最大化似然函数等价于最小化下式：
     
     这就是我们前面提到的代价函数

4. 局部加权线性回归(LWR locally weighted linear regression)
   
   当$\omega$很大时，该项在代价函数中的作用变得很明显；反之，对应项的误差将会被忽略。

   • 目的： 防止过拟合

   • $\omega$的选择：
     
     $x^{(i)}$为第i个样本点，x为查询点，两者越接近，对应项权重越靠近1，否则，趋近于0；$\tau$被称为带宽(bandwidth)参数，它控制权重相对于$x^{(i)}-x$改变的快慢。
     这是我们接触的第一个非参数方法
     （斯坦福机器学习教程）