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POJ--3164--Command Network【朱刘算法】最小树形图

时间:2014-08-10 15:41:50      阅读:203      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:最小树形图

链接:http://poj.org/problem?id=3164

题意:告诉n个点坐标,m条边表示两个点之间有路,从1点开始建立一个有向图最小生成树。

朱刘算法模板题

========================== 分割线之下摘自Sasuke_SCUT的blog==================================================
最 小树形图,就是给有向带权图中指定一个特殊的点root,求一棵以root为根的有向生成树T,并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是 1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单,只需要以v为根作一次图的遍历就可以了,所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前,我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显,自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进 行了这步操作,总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边,这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小 入边都选择出来了,如果这个入边集不存在有向环的话,我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话,我们就要将这 个有向环所称一个人工顶点,同时改变图中边的权。假设某点u在该环上,并设这个环中指向u的边权是in[u],那么对于每条从u出发的边(u, i, w),在新图中连接(new, i, w)的边,其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w),在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u],这个后面会解释,在这里先给出算法的步骤。然后可以证明,新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和,就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论,说明一下为什么出边的权不变,入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T,设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后,e指向了一个环。假设原先e是指向u的,这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除,这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现,如果新图中e的权w‘(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话,那么在我们删除 掉in[u],并且将e恢复为原图状态的时候,这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权,而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后,我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点,就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话,可以达到找最小入边O(E),找环 O(V),收缩O(E),其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E),然后最多会收缩几次呢?由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环,我门可以知道每个环至少包含2个点,收缩成1个点之后,总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候,最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩,所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见,如果一开始不除去自环的话,理论复杂度会和自环的数目有关。
======================== 分割线之上摘自Sasuke_SCUT的blog=====================================================

简单的说就是除源点外每个点选一条权值最小的入边,如果存在环则说明还存在多余的边,把成环的点缩成一个点再进行一遍生成树,直到没有环。


朱刘算法模板,顶点下标从0开始

/*
最小树形图图模版-朱刘算法
模版说明:点标号必须0-(N-1)
		 必须去除到自身的点(到自身的边的边权赋无限大)
*/
#include<cstring>
#include<string>
#include<fstream>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<functional>
#include<cmath>
using namespace std;
#define PI acos(-1.0)
#define MAXN 50100
#define eps 1e-7
#define INF 0x7FFFFFFF
#define seed 131
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

struct node{
    int u,v;
    double dis;
}edge[10100];
int pre[110],ID[110],vis[110];
int n,m;
int x[110],y[110];
double In[110];
double Directed_MST(int root,int NV,int NE) {
	double ret = 0;
	while(true) {
		//1.找最小入边
		for(int i=0;i<NV;i++) In[i] = INF;
		for(int i=0;i<NE;i++){
			int u = edge[i].u;
			int v = edge[i].v;
			if(edge[i].dis < In[v] && u != v) {
				pre[v] = u;
				In[v] = edge[i].dis;
			}
		}
		for(int i=0;i<NV;i++) {
			if(i == root) continue;
			if(In[i] == INF)	return -1;//除了根以外有点没有入边,则根无法到达它
		}
		//2.找环
		int cntnode = 0;
        memset(ID,-1,sizeof(ID));
        memset(vis,-1,sizeof(vis));
		In[root] = 0;
		for(int i=0;i<NV;i++) {//标记每个环
			ret += In[i];
			int v = i;
			while(vis[v] != i && ID[v] == -1 && v != root) {
				vis[v] = i;
				v = pre[v];
			}
			if(v != root && ID[v] == -1) {
				for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u]) {
					ID[u] = cntnode;
				}
				ID[v] = cntnode ++;
			}
		}
		if(cntnode == 0)	break;//无环
		for(int i=0;i<NV;i++) if(ID[i] == -1) {
			ID[i] = cntnode ++;
		}
		//3.缩点,重新标记
		for(int i=0;i<NE;i++) {
			int v = edge[i].v;
			edge[i].u = ID[edge[i].u];
			edge[i].v = ID[edge[i].v];
			if(edge[i].u != edge[i].v) {
				edge[i].dis -= In[v];
			}
		}
		NV = cntnode;
		root = ID[root];
	}
	return ret;
}
int main(){
    int i,j,a,b;
    double temp;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
        }
        for(i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            edge[i].u = a - 1;
            edge[i].v = b - 1;
            if(a==b)    edge[i].dis = INF;
            else{
                temp = (x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]);
                temp = sqrt(temp);
                edge[i].dis = temp;
            }
        }
        double ans = Directed_MST(0,n,m);
        if(ans==-1) puts("poor snoopy");
        else    printf("%.2lf\n",ans);
    }
    return 0;
}



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POJ--3164--Command Network【朱刘算法】最小树形图

标签:最小树形图

原文地址:http://blog.csdn.net/zzzz40/article/details/38470283

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