算法分析

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　　算法就是一系列解决问题的指令，对于给定的输入，能够在有限时间内获得预期的输出。一个好的算法和一篇好的文章一样，都是不断努力，反复修正的结果。算法分析主要从运行时间和存储空间两方面讨论算法的效率。相信有些人会有跟我一样的感觉，对于一些算法，有时我们一眼就能看出它的时间复杂度，但就是无法比较规范的表达出来。本文就系统的整理一下如何规范推导算法的时间和空间复杂度。

　　算法分析的一个依据是，输入规模（又称问题规模，记为 n），根据直觉，程序的运行时间随着问题规模的增大而变长。那么怎么衡量程序的运行时间呢？其实程序大部分时间只花在某些重要的操作（指令）上，比如大部分排序基本操作就是比较交换，所以另一个依据就是，程序基本操作执行的次数。如果把基本操作的次数记为 f(n) ，每次执行的时间为  C_op 那么可以用以下公式估算运行时间 :

　　假设 f(n)=n(n-1)/2，那么如果输入规模翻倍，算法大约运行 4 倍的时间，这是因为当 n 值很大时，就有：

　　那么：

　　所以对于大规模的输入，我们忽略了一些常量，而更加关注程序运行时间的增长速度，也可以称为相对增长率。为了更方便的描述 T(n) 的增长数量级，使用”大O”来表示增长数量级的上限（也可以说是算法性能的渐进上限），其数学定义是：对于T(n)和f(n)，如果存在常数 C 和 n₀ 使得当n≥n₀时，都有 0≤T(n)≤C×f(n)，则记为T(n)=O(f(n))。此外还有”大Ω”用来表示最坏情况下的性能下限；”大θ”用来描述算法的最优性能。

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