标签：ade 模板 cep 最大 输出 sum memory ems 思路
啦啦啦！
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转
化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)， A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：
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若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
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这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1.两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2.两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3.X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
4.X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。
为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。
所以 KM算法过程：
1、初始化可行性顶标lx[], ly[]。
2、用类似Hungry算法的思想求完全匹配。
3、找不到则调整lx[], ly[]的值，然后回到1。
4、如果二分图已经是完全匹配的则退出，ans = ∑(lx[i] + ly[i]);
// if（没看懂） 再给一个讲解 http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5264235.html
下面看一个例题
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 8309 Accepted Submission(s):
3692
//km算法模板 O(n^3) #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define maxn 301 #define INF 9999185 using namespace std; int w[maxn][maxn],lx[maxn],ly[maxn],visx[maxn],visy[maxn]; int linky[maxn],slack[maxn],nx,ny,n; bool find(int x) { visx[x]=true; for(int y=1;y<=n;y++) { int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; if(!visy[y]) { if(t==0) { visy[y]=true; if(linky[y]==-1||find(linky[y])) { linky[y]=x; return true;//找到增广路 } } else if(slack[y]>t)//没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符） slack[y]=t; } } return false; } int KM() //返回最优匹配的值 { memset(linky,-1,sizeof linky); memset(ly,0,sizeof ly); memset(lx,-127/3,sizeof lx); for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(w[i][j]>lx[i]) lx[i]=w[i][j]; for(int x=1; x<=n; x++) { for(int i=1; i<=n; i++) slack[i]=INF; while(1) { memset(visx,0,sizeof visx); memset(visy,0,sizeof visy); if(find(x)) break;//找到增广路 结束 int d=INF; for(int i=1; i<=n; i++)//没找到，对l做调整(这会增加相等子图的边)，重新找 { if(!visy[i]&&d>slack[i]) d=slack[i]; } for(int i=1; i<=n; i++) if(visx[i]) lx[i]-=d; for(int i=1; i<=n; i++) if(visy[i]) ly[i]+=d; else slack[i]-=d; } } int ans=0; for(int i=1; i<=n; i++) if(linky[i]>-1) ans+=w[linky[i]][i]; return ans; } int main() { int a,b; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a),w[i][j]=a; } printf("%d\n",KM()); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/L-Memory/p/6538086.html
