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下图是一“棵”树的样子。树这个名称起的很形象，整个数据结构由根、枝、叶组成，其中1为根节点，2、3是1的子节点，4、5、6、8、9、10这几个没有子节点的节点称为叶节点。
节点的度：一个节点的子树的数量称为该节点的度。例如，图中节点2的度为3，节点3的度为2。
树的度：一棵树的度是指该树中节点的最大度数。如图中树的度是3。
节点的层数：每个节点都处在一定的层次上，图中根节点在第1层，2、3节点在第二层。
树的深度：一棵树中节点的最大层数称为树的深度。如中所示的树的深度为4。
二叉树是一种特殊的树，特点是每个节点最多有两个子节点。上图中的树去掉节点4就符合二叉树的定义了，如下图：
除二叉树最后一层外，其他各层的节点数都达到最大个数，且最后一层从左向右的叶节点连续存在，只缺右侧若干节点，就是完全二叉树。
如下图，每一层都是从左向右摆放节点，每个节点都是摆满两个子节点后才向右移动到下一个节点，一层摆满后向下移动一层，直到摆放完所有数字。这样得到的二叉树就是完全二叉树，中间有任何缺失的节点就不能称为完全二叉树。
完全二叉树的一个重要特性就是节点编号的规律，这是理解完全二叉树构建程序的根本。看上图，仍然按照从左到右、从上到下的规律从1开始为节点编号，图中节点上的数字正好与节点编号相同，可以看出：
如果一个父节点的编号是x，那么它左子节点的编号就是2x，右子节点的编号就是2x+1。
在程序中，二叉树通常采用链式结构存储，链中的每一个节点由节点数据、左子节点指针、右子节点指针组成
- class Node {
- Node leftChild;
- Node rightChild;
- int data;
-
- public Node(int data) {
- this.data = data;
- }
- }
有时候为了查找父节点方便，还可以为节点定义增加一个指向父节点的指针。
假设要用1-9这九个数字构建二叉树，那么先创建好九个节点，然后设置这些节点的左右子节点指针。观察多个节点数不等的完全二叉树可以得出规律，对于x个节点组成的二叉树，只有前x / 2(取整)个节点具有子节点，且第x / 2个节点可能只有左子节点。
理解了这些后，代码就很简单了
- import java.util.LinkedList;
- import java.util.List;
-
- public class BinTreeByList {
-
- List<Node> nodes = null;
- private int[] datas = null;
- private int number;
-
- public BinTreeByList(int[] datas) {
- this.datas = datas;
- this.number = this.datas.length;
- }
-
- public void create() {
- nodes = new LinkedList<>();
- for(int i = 0; i < this.number; i++) {
- nodes.add(new Node(datas[i]));
- }
-
- for(int noteId = 1; noteId <= this.number / 2; noteId++) {
-
- nodes.get(noteId - 1).leftChild = nodes.get(noteId * 2 - 1);
- if(noteId * 2 < this.number)
- nodes.get(noteId - 1).rightChild = nodes.get(noteId * 2);
- }
- }
-
- private static class Node {
- Node leftChild;
- Node rightChild;
- int data;
-
- public Node(int data) {
- this.data = data;
- }
- }
- }
接下来的问题是，二叉树是非线性结构，如果拿到一个已经构建好的二叉树结构，如何遍历其全部节点呢。遍历的定义是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有节点，使每一个节点都被访问一次，而且只被访问一次。
先看概念：
先序遍历（DLR）：称为先根次序遍历，即先访问根节点，再按先序遍历左子树，最后按先序遍历右子树。
中序遍历（LDR）：称为中根次序遍历，即先按中序遍历左子树，再访问根节点，最后按中序遍历右子树。
后序遍历（LRD）：称为后根次序遍历，即先按后序遍历左子树，再按后序遍历右子树，最后访问根节点。
三种方式遍历的代码如下：
- public void preOrder(Node node) {
- if(node == null) {
- return;
- }
- System.out.print(node.data + " ");
- preOrder(node.leftChild);
- preOrder(node.rightChild);
- }
-
- public void inOrder(Node node) {
- if(node == null) {
- return;
- }
- inOrder(node.leftChild);
- System.out.print(node.data + " ");
- inOrder(node.rightChild);
- }
-
- public void postOrder(Node node) {
- if(node == null) {
- return;
- }
- postOrder(node.leftChild);
- inOrder(node.rightChild);
- System.out.print(node.data + " ");
- }
测试代码：
- public static void main(String[] args) {
- int[] numbers = new int[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
-
- BinTreeByList tree = new BinTreeByList(numbers);
- tree.create();
- System.out.print("先序遍历");
- tree.preOrder(tree.nodes.get(0));
- System.out.println();
- System.out.print("中序遍历");
- tree.inOrder(tree.nodes.get(0));
- System.out.println();
- System.out.print("后续遍历");
- tree.postOrder(tree.nodes.get(0));
- }
输出：
- 先序遍历1 2 4 8 9 5 3 6 7
- 中序遍历8 4 9 2 5 1 6 3 7
- 后续遍历8 9 4 5 2 6 3 7 1
其实，完全二叉树还有一种更简单的存储方式，即一维数组。也就是说int[] {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}本身就是一个完全二叉树了。
根据数字在数组中的索引即可以计算出数字的节点位置，而且仍然可以对这个二叉树做三种方式的遍历。
- public class BinTreeByArray {
- private int[] numbers;
-
- public BinTreeByArray(int[] numbers) {
- this.numbers = numbers;
- }
-
-
- public void preOrder(int nodeId) {
- if(nodeId <= numbers.length) {
- System.out.print(numbers[nodeId - 1] + " ");
- preOrder(nodeId * 2);
- preOrder(nodeId * 2 + 1);
- }
- }
-
-
- public void inOrder(int nodeId) {
- if(nodeId <= numbers.length) {
- inOrder(nodeId * 2);
- System.out.print(numbers[nodeId - 1] + " ");
- inOrder(nodeId * 2 + 1);
- }
- }
-
-
- public void postOrder(int nodeId) {
- if(nodeId <= numbers.length) {
- postOrder(nodeId * 2);
- inOrder(nodeId * 2 + 1);
- System.out.print(numbers[nodeId - 1] + " ");
- }
- }
-
- public static void main(String[] args) {
- int[] numbers = new int[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
- for(int x = 0; x < numbers.length; x++) {
- System.out.print(numbers[x] + " ");
- }
- System.out.println();
-
- BinTreeByArray tree = new BinTreeByArray(numbers);
- System.out.print("先序遍历");
- tree.preOrder(1);
- System.out.println();
- System.out.print("中序遍历");
- tree.inOrder(1);
- System.out.println();
- System.out.print("后续遍历");
- tree.postOrder(1);
- }
- }
用数组存储二叉树的一个常见应用就是堆排序，下文分解。
Java与算法之(7) - 完全二叉树
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原文地址：http://www.cnblogs.com/sa-dan/p/6837056.html
