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递归算法

递归过程一般通过函数或子过程来实现。递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。

算法简析

递归是计算机科学的一个重要概念,递归的方法是程序设计中有效的方法,采用递归编写

递归能使程序变得简洁和清晰.

特点

递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

递归算法解决问题的特点：

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

(4) 在 递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成 栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

要求

递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行 递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

如何设计递归算法

1.确定 递归公式

2.确定边界(终了)条件

递归的一般模式

procedure aaa(k:integer);

begin

if k=1 then (边界条件及必要操作)

else begin

aaa(k-1);

(重复的操作);

end;

end;

C#:例子

例：一列数的规则如下: 1、1、2、3、5、8、13、21、34...... 求第30位数是多少。

public class MainClass 
　　{ 
　　public static void Main() 
　　{ 
　　Console.WriteLine(Foo(30)); 
　　} 
　　public static int Foo(int i) 
　　{ 
　　if (i <= 0) 
　　return 0; 
　　else if(i > 0 && i <= 2) 
　　return 1; 
　　else return Foo(i -1) + Foo(i - 2); 
　　} 
　　}

又如:

procedure a;

begin

.

.

.

a;

.

.

.

end;

这种方式是直接调用.

又如:

procedure c( 形参);forward;

procedure b;

局部说明

begin

. .

c( 实参);

. .

end;

procedure c;

局部说明；

begin

. .

b;

. .

end;

这种方式是间接调用.

例1计算n!可用 递归公式如下:

fac:=n*fac(n-1) {当n>0时}

fac(n)={

fac:=1; { 当n=0时}

可编写程序如下:

program facn;

var

n:integer;

function fac(n:integer):real;

begin

if n=0

then fac:=1

else fac:=n*fac(n-1);

end;

begin

write(‘n=‘);readln(n);

writeln(n,‘!=‘,fac(n):0:0);

end.

例1：把一个整数按n(2<=n<=20)进制表示出来，并保存在给定字符串中。比如121用二进制表示得到结果为：“01111001”。

参数说明：s: 保存转换后得到的结果。

n: 待转换的整数。

b: n进制（2<=n<=20）

void

numbconv(char *s, int n, int b)

{

int len;

if(n == 0) {

strcpy(s, "");

return;

}

/* figure out first n-1 digits */

numbconv(s, n/b, b);

/* add last digit */

len = strlen(s);

s[len] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"[n%b];

s[len+1] = ‘\0‘;

}

void

main(void)

{

char s[20];

int i, base;

FILE *fin, *fout;

fin = fopen("palsquare . in", "r");

fout = fopen("palsquare.out", "w");

assert(fin != NULL && fout != NULL);

fscanf(fin, "%d", &base);

/*PLS set START and END*/

for(i=START; i <= END; i++) {

numbconv(s, i*i, base);

fprintf(fout, "%s\n", s);

}

exit(0);

}

例2 楼梯有n阶台阶,上楼可以一步上1阶,也可以一步上2阶,编一程序计算共有多少种不同的走法.

设n阶台阶的走法数为f(n)

显然有

n=1

f(n)={f(n-1)+f(n-2)} n>2

可编程序如下：

program louti;

var n:integer;

function f(x:integer):integer;

begin

if x=1 then f:=1 else

if x=2 then f:=2 else f:=f(x-1)+f(x-2);

end;

begin

write(‘n=‘);read(n);

writeln(‘f(‘,n,‘)=‘,f(n))

end.

例3汉诺塔问题

如图:已知有三根针分别用1,2,3表示,在一号针中从小放n个盘子,现要求把所有的盘子

从1针全部移到3针,移动规则是:使用2针作为过渡针,每次只移动一块盘子,且每根针上

不能出现大盘压小盘.找出移动次数最小的方案.

程序如下:

program hanoi;

var

n:integer;

procedure move(n,a,b,c:integer);

begin

if n=1 then writeln(a,‘->‘,c)

else begin

move(n-1,a,c,b);

writeln(a,‘--->‘,c);

move(n-1,b,a,c);

end;

end;

begin

write(‘Enter n=‘);

read(n);

move(n,1,2,3);

end.

例4快速排序

快速排序的思想是:先从数据序列中选一个元素,并将序列中所有比该元素小的元素都放到它的右边或左边,再对左右两边分别用同样的方法处之直到每一个待处理的序列的长度为1, 处理结束.

程序如下:

program kspv;

const n=7;

type

arr=array[1..n] of integer;

var

a:arr;

i:integer;

procedure quicksort(var b:arr; s,t:integer);

var i,j,x,t1:integer;

begin

i:=s;j:=t;x:=b ;

repeat

while (b[j]>=x) and (j>i) do j:=j-1;

if j>i then begin t1:=b; b:=b[j];b[j]:=t1;end;

while (b<=x) and (i<j) do i:=i+1;

if i<j then begin t1:=b[j];b[j]:=b;b:=t1; end

until i=j;

b:=x;

i:=i+1;j:=j-1;

if s<j then quicksort(b,s,j);

if i<t then quicksort(b,i,t);

end;

begin

write(‘input data:‘);

for i:=1 to n do read(a);

writeln;

quicksort(a,1,n);

write(‘output data:‘);

for i:=1 to n do

write(a:6);

writeln;

end.

例5求最大公约数

最大公约数算法：给两个数，如果两个数相等，最大公约数是其本身；如果不等，取两个数相减的绝对值和两个数中最小的数比较，相等则为最大公约，不等则继续上面的算法，直到相等。

程序如下：

public class YueShuTest{

public static void yueshu（int num1，int num2）{

if(num1==num2){System.out.println(num1);

}

else{

// 递归调用本身

yueshu(Math.abs(num1-num2),Math.min(num1,num2));

}

}

}