树状数组小结

树状数组必要的图解

这个图表示了对数组的变化。使得 c[1] = a[1] , c[2] = a[1] + a[2] , c[3] = a[3] , c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] 。。

。每个c[i]的值代表了相应的i能够控制的区间，那么假设改变一个值后，仅仅须要改变c数组中控制这个区间的c[i]就能够了

1.树状数组。两个最主要的操作，改动和查询

首先的条件是神一样的函数

int c[100010] ;

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}这个函数能够使 i-=lowbit(i) 跳到i控制的区间的之前的节点  i += lowbit(i) 跳到i控制区间的之后的节点 ，也就是说能够由i跳到下一个控制区间包含i的位置

改动

void add(int i,int n,int d)
{
    while(i <= n)
    {
        c[i] += d;
        i += lowbit(i) ;
    }
}

查询

int sum(int i)
{
    int a = 0 ;
    while(  i )
    {
        a += c[i]  ;
        i -= lowbit(i) ;
    }
    return a;
}

在这个改动中由前向后改动。改变了全部c数组中控制区间包括i的值，查询时有后向前搜索。log(n)的时间搜索到整个的值

2. 在树状数组中不仅能够改动一个值，也能够改动区间内的全部值

1.假设每次查询的是数组中某一个值，那么用树状数组比线段树更省时间，例。假设要改动[x,y]内的值。能够用数组a保留初始的情况，数组b表示改动的情况(b[i]表示，由i到n的全部数+b[i])，那么对于[x,y]就能够表示成 b[x] += 1 , b[y+1] += -1 ；这样由b数组写出的树状数组中，对于计算i时，由b[1] + b[2] + b[3] 。

。b[i] 表示了对i全部的改动

2.假设查询的是一段区间和。也可用树状数组写出。同上一样数组a保留初始情况。数组b表示改动的情况(b[i]表示由i到n的全部改动)，那么求区间[x,y]的和时 sum = Sy - Sx。以Sx为例  Sx = 初始值+改动的值，改动的值 = b[1] * x + b[2] * (x-1) + 。。b[x]*1 = ( x+1 )*(b[1]+b[2]。。+b[x]) - ( b[1]*1 + b[2]*2 + 。

。

b[x]*x ) 用两个树状数组表示b[i]的和。b[i]*i的和

3 二维的树状数组

二维的树状数组的改动和查询操作

改动

void add(int i,int j,int n,int d)
{
    int x , y ;
    for(x = i ; x <= n ; x += lowbit(x))
        for(y = j ; y <= n ; y += lowbit(y))
            c[x][y] += d ;
}

查询

int sum(int i,int j)
{
    int a = 0 , x , y ;
    for( x = i ; x > 0 ; x -= lowbit(x) )
        for( y = j ; y > 0 ; y -=lowbit(y) )
            a += c[x][y] ;
    return a;
}

原理同一维同样，只是在二维中c[i][j] 表示由[1,1]到[i,j]的矩形的和

相同在改动一个值时，能够方便的查询出一段区间的和。改动一段区间时，方便的查询一个数的值

3, 三维树状数组

改动

int add(int i,int j,int k,int n,int d)
{
    int x , y , z ;
    for(x = i ; x <= n ; x += lowbit(x))
        for(y = j ; y <= n ; y += lowbit(y))
            for(z = k ; z <= n ; z += lowbit(z))
                c[x][y][z] += d ;
}

查询

int sum(int i,int j,int k)
{
    int a = 0 , x , y , z ;
    for(x = i ; x > 0 ; x -= lowbit(x))
        for(y = j ; y > 0 ; y -= lowbit(y))
            for(z = k ; z > 0 ; z -= lowbit(z))
                a += c[x][y][z];
    return a ;
}

使用方法同上

4.例题

1.poj2481。对s和e排序，保证对于第i头牛时，全部比i强壮的牛都统计过，而且对于标记的数组来说在i的前面。方便用树状数组统计前面的数量

2.poj2352。星的问题，同上一样，使得每一个等级比它小的都会在它之前统计过

3.poj2299。对问题的转化，问须要多少次交换。能够转化为从第一个開始每次都是它之前的变为有序的。那么对于第i个仅仅须要交换在i之前的，且比i大的，题目就转化为求逆序数的问题，使用树状数组求逆序数，能够向前统计比它小的个数。用（i-sum）求出i之前比它大的数目，或者直接向后统计，比他大的数目

4.hdu1556。每次改动了一段范围的值，问某一个数的值

5.poj2182，杂乱的牛站到一起。给出的数表示在该牛之前有多少序号比该牛小的，由后向前统计，那么第i个牛的序号 = 在还无用的序号，找出第a[i]+1个，使用树状数组计算序号为k是当前的第几个。使用二分找到第a[i]+1个，那个序号就是牛a[i]的序号。

（注意为了防止一个序号被用多次，找到的序号尽可能的向左）

6.poj3468，树状数组解法

7.poj2155，二维树状数组，改动一个矩形的数，问某个数的大小

8.hdu3584。三维树状数组，同上。