扩展KMP算法小记

参考来自《拓展kmp算法总结》：http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947

扩展KMP解决的问题：

定义母串S和子串T，S的长度为n，T的长度为m；

求  字符串T  与  字符串S的每一个后缀  的最长公共前缀；

也就是说，设有extend数组：extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀，要求出所有extend[i](0<=i<n)。

（注意到，如果存在若干个extend[i]=m，则表示T在S中完全出现，且是在位置i出现，这就是标准的KMP问题，所以一般将它称为扩展KMP算法。）

下面举一个例子，S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”；

首先，计算extend[0]时，需要进行5次匹配，直到发生失配：从而得知extend[0]=4；

下面计算extend[1]，在计算extend[1]时，是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢？

答案是否定的，因为通过计算extend[0]=4，从而可以得出S[0,3]=T[0,3]，进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3]；

计算extend[1]时，事实上是从S[1]开始匹配；

设有辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度，

在这个例子中，next[1]=4，即T[0,3] = T[1,4]，进一步得到T[1,3]=T[0,2]，所以S[1,3]=T[0,2]，所以在计算extend[1]时，通过extend[0]的计算，已经知道S[1,3]=T[0,2]；

所以前面3个字符已经不需要匹配，直接匹配S[4]和T[3]即可，这时一次就发生失配，所以extend[1]=3.

1. 拓展kmp算法一般步骤

通过上面的例子，事实上已经体现了拓展kmp算法的思想，下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。

首先我们从左到右依次计算extend数组，在某一时刻，设extend[0...k]已经计算完毕，并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P，所谓最远位置，严格来说就是i+extend[i]-1的最大值（0<=i<=k）；

设取到这个最大值的位置为Po，如在上面的例子中，计算extend[1]时，P=3，Po=0.

现在要计算extend[k+1]，根据extend数组的定义，可以推断出S[Po,P]=T[0,P-Po]，从而得到 S[k+1,P]=T[k-Po+1,P-Po],令len=next[k-Po+1]（next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度）；

分以下两种情况讨论：

第一种情况：k+len<P

如下图所示：

上图中，S[k+1,k+len]=T[0,len-1]，

然后S[k+len+1]一定不等于T[len]，因为如果它们相等，则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+Po+len+1]=T[0,len]，那么next[k+Po+1]=len+1，这和next数组的定义不符；

所以在这种情况下，不用进行任何匹配，就知道extend[k+1] = len.

（

一个例子的模拟：

）

第二种情况： k+len>=P

如下图：

上图中，S[P+1]之后的字符都是未知的，也就是还未进行过匹配的字符串，所以在这种情况下，就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配，直到发生失配为止，当匹配完成后，如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和Po.

（

另一个例子的模拟：

）

至此，拓展kmp算法的过程已经描述完成，细心地读者可能会发现，next数组是如何计算还没有进行说明；

事实上，计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样，将它看成是以T为母串，T为子串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了；

计算过程中的所需要的next数组值全是已经计算过的，所以按照上述介绍的算法计算next数组不会出现问题，不再赘述。

代码模板：

const int MAX=100010; //字符串长度最大值
int Next[MAX],extend[MAX];

//预处理计算Next数组
void getNext(char str[])
{
    int i=0,j,po,len=strlen(str);
    next[0]=len; //初始化next[0]
    while(str[i]==str[i+1] && i+1<len) i++; next[1]=i; //计算next[1]
    po=1; //初始化po的位置
    for(i=2;i<len;i++)
    {
        if(next[i-po]+i < next[po]+po) //第一种情况，可以直接得到next[i]的值
            next[i]=next[i-po];
        else //第二种情况，要继续匹配才能得到next[i]的值
        {
            j = next[po]+po-i;
            if(j<0) j=0; //如果i>po+next[po],则要从头开始匹配
            while(i+j<len && str[j]==str[j+i]) j++; next[i]=j;
            po=i; //更新po的位置
        }
    }
}

//计算extend数组
void EXKMP(char s1[],char s2[])
{
    int i=0,j,po,len=strlen(s1),l2=strlen(s2);
    getNext(s2); //计算子串的next数组
    while(s1[i]==s2[i] && i<l2 && i<len) i++; extend[0]=i;
    po=0; //初始化po的位置
    for(i=1;i<len;i++)
    {
        if(next[i-po]+i < extend[po]+po) //第一种情况，直接可以得到extend[i]的值
            ex[i]=next[i-po];
        else //第二种情况，要继续匹配才能得到extend[i]的值
        {
            j = extend[po]+po-i;
            if(j<0) j=0; //如果i>extend[po]+po则要从头开始匹配
            while(i+j<len && j<l2 && s1[j+i]==s2[j]) j++; extend[i]=j;
            po=i; //更新po的位置
        }
    }
}