标签：复杂度 个人 最小 i+1 离线 统计 批量查询 最小值 平面
1.设A与C是互质的两个数，求B，使得A*B=1(mod C)。
解：由于gcd(A,C)=1，因此利用扩展欧几里德函数可以找到a*A+c*C=1，即a*A=1(mod C)。我们取B=a即可。
2.求$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}$的上下界。
解：$\ln \left( n+1 \right) \le \int_1^{n+1}{\frac{1}{x}dx}\le \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\le 1+\int_1^n{\frac{1}{x}dx}=1+\ln \left( n \right) $。
3.求形如$\sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}$的上下界，其中α>=0。
解：$1+\frac{1}{\alpha +1}\left( n^{\alpha +1}-1 \right) =1+\int_1^n{x^{\alpha}dx}\le \sum_{i=1}^n{i^{\alpha}}\le \int_1^{n+1}{x^{\alpha}dx}=\frac{1}{\alpha +1}\left( \left( n+1 \right) ^{\alpha +1}-1 \right) $。
4.要求大批量查询区间最大值最小值，区间不会被修改。
解：使用ST算法在长度为n的区间上以时空复杂度O(nlog2n)做预处理，并以O(1)时间复杂度做查询。
5.在一株树上统计路径信息。
解：使用LCT，所有操作时间复杂度均为O(log2n)。
6.数据范围较大，但实际数据较少。
解：离散处理。
7.要求多次处理树上差分，每个结点对应一组值。
解：树上每个结点对应一个持久化线段树，并且子结点的持久化线段树在父结点的持久化线段树上创建。
8.给定n大小不变区间，区间值最大值为k，m次查询区间第k小。
解：将区间视为一株树，下标i对应i+1的父结点，问题相当于在树上做差分。查询区间[l,r]上第k小，等价于查询持久化线段树r与持久化线段树l-1的差分对应的线段树上第k小元素。时间复杂度为O((n+m)log2(k))。
9.给定一株含n个结点的树，m次查询lca。
解：1.先利用dfs将树压成区间，之后利用st处理区间最小值和最大值。时间复杂度为O(2nlog2(n)+m)。
2.如果允许离线处理，则利用tarjan算法可以在O(n+m)时间复杂度内求出。
10.给定长度为n的字符串，m次判断两个子串是否相同。
解：在字符串上进行hash处理，之后以O(1)实际复杂度取子串哈希值并进行比较。实际复杂度为O(n+m)。注意要小心生日悖论，如果哈希范围为k，则只需要sqrt(k)个不同子串就有1/2以上的概率使得存在两个子串拥有相同哈希值，这时候可以多次进行哈希，从而提高k的范围。
11.平面上n个矩形，求被这些矩形覆盖的面积。
解：先对矩形按照矩形底部y坐标进行从小到大排序。之后用扫描线算法从左到右扫描矩形左右边界。总的时间复杂度为O(n^2)。
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