标签：辅助 处理 有序 += 区别 了解 方式 nta length
问题描述：有一个长度为N的整形数组row，由0至N-1这N个数字乱序组成（每个数组出现且仅出现一次）。现在你可以对这个数组的任意两个不同的元素进行交换。问：对于一个给定的这种数组，若要把这个数组变为从小到大排好序的操作（即，对于数组的任意下标，均有 I == row[i] 成立），最少需要进行多少次交换？
首先，举几个简单的例子：
例子1：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
值 |
0 |
3 |
2 |
1 |
4 |
只需1次交换即可：把row中下标为1的元素和下标为3的元素进行交换，记为swap(row, 1, 3)。
例子2：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
值 |
0 |
2 |
1 |
4 |
3 |
需要两次交换：
第一次：swap(row, 1, 2)
第一次交换后：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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值 |
0 |
1 |
2 |
4 |
3 |
第二次：swap(row, 3, 4)
例子3：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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值 |
0 |
4 |
2 |
1 |
3 |
需要两次交换：
第一次：swap(row, 1, 4)
第一次交换后：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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值 |
0 |
3 |
2 |
1 |
4 |
第二次：swap(row, 1, 3)
注意，在例子3中，下标为1、3、4的三个元素的初始位置形成了一个“环”。即（接下来的话很重要），位置1上的元素本应该在位置4；位置4上的元素本应该在位置3；位置3上的元素本应该在位置1。这段很重要的话太啰嗦了，简记如下：1-->4-->3-->1。
任何一个乱序的数组，都会包含一个或多个形如“1-->4-->3-->1”的“环”。
注意，这个“环”的开头的结尾肯定是同一个下标，绝不会出现如下的形式：
“1-->4-->3-->……-->3”。这是因为，如果数字3出现了两次，那就意味着原始数组row中的两个不同的位置的元素都“本应该出现在位置3”。
所以，“通过交换的方式对数组进行排序”，其实就是“对上述的‘环’中的下标进行操作”。
下面来计算对每个“环”需要进行多少次交换。
首先定义“环”的长度如下：
“1-->4-->3-->1”的长度为3，
“1-->4-->1”的长度为2
“1-->1”的长度为1（长度为1的情况就是“该元素的处于正确位置”的情况）
对于长度为1的环，所需的交换次数是0，SWAP(1) = 0
对于长度为2的环，所需的交换次数是1，SWAP(2) = 1
对于长度为k的环，交换其中的任何两个元素，把当前的“撕裂”为两个更小的环，且两个小环的长度加起来刚好等于k。例如：
对于环：
……i-->j-->k-->……r-->s-->t-->……
执行swap(row, j, s)，会生成如下的两个环（需要思考两分钟）：
环1：……i-->j-->t-->……
环2：k-->……r-->s->k
（对于j和s在边界的情况，上述结论也成立。）
所以，对于长度为k的环，所需的交换次数SWAP(k)=SWAP(k1) + SWAP(k2) +1，其中k1+k2=k
根据
SWAP(1) = 0，
SWAP(k)=SWAP(k1) + SWAP(k2) +1，其中k1+k2=k
可以用第二数学归纳法证明（第二数学归纳法是啥，见文末），
SWAP(n) = n - 1
注意，对长度为k的环，交换其中的任意两个元素都可以把环撕裂为两个小环。那么，如果我们把第一个元素交换到“它本应出现的位置”，会怎样呢？
对于环“1-->4-->3-->1”，下标1上的元素本应出现在位置4，所以我们执行swap(row, 1, 4)，然后就把“1-->4-->3-->1”撕裂为两个小环：
环1：“1-->3-->1”
环2：“4-->4”
环2是“已经搞定了”的状态，接下来只需处理环1，swap(row, 1, 3)。
上述算法的直观感觉就是，不停地把“当前位置的元素”和“它应该去的地方”的元素进行交换，这样，“当前位置的元素”就去了“它应该去的地方”，同时，“被换过来的元素”又成了“当前位置的元素”，直到“被换过来的元素”就应该放在“当前位置”为止。
代码如下：
int sort(int[] row) {
printArray(row);
int nSwapTimes = 0;
for (int i = 0; i < row.length; ++i) {
for (int j = row[i]; j != i; j = row[i]) {
swap(row, i, j);
++ nSwapTimes;
// 可以在每次交换后把row的当前状态打印出来感受一下
printArray(row);
}
}
return nSwapTimes;
}
上述解法可以推广到如下的问题：
有N对夫妇随机坐成一排，现在要经过若干次交换座椅，使得每对夫妇的座位都挨在一起。求最小的交换次数。座位以整形数组row表示，下标从0至2N-1。每一对夫妇都用有序数对表示：(0, 1)、(2, 3)、(2N-2, 2N-1)。数组row的第i个元素row[i]代表位置i上坐着的人。
为了解决这个问题，需要一个和row的用处刚好相反的辅助数组pos：row[i]代表位置i上坐着的人；pos[i]代表人i所在的位置。
为了方便起见，定义getPartner函数如下
int getPartner(int n) {
return (n % 2 == 1) ? (n - 1) : (n + 1);
}
这个函数返回下标n的配偶（n既可以是人也可以是座位。请思考两分钟，当n是座位时getPartner的含义）。
这个问题和乱序数组的排序问题只有一个区别：
乱序数组排序：下标i所在的元素的期望位置是row[i]
本问题：下标i所在元素的期望位置是getPartner(pos[getPartner(row[i])])
getPartner(pos[getPartner(row[i])])的含义：
最内层row[i]，位置i上的人是谁
再加一层getPartner，此人的配偶是谁
再加一层pos，此人的配偶在row中的实际座位
再加一层getPartner，此人的期望座位（思考两分钟）
代码如下：
int nResult = 0;
for (int i = 0; i < row.length; i += 2) {
for (int j = getPartner(pos[getPartner(row[i])]); j != i; j = getPartner(pos[getPartner(row[i])])) {
swap(row, i, j);
swap(pos, row[i], row[j]);
++nResult;
}
}
return nResult;
至此，结束
第一数学归纳法，若对自然数的命题P(n)，满足：
1、 P(1)成立。
2、 若P(k)成立，则P(k+1)成立
则P(n)对全体自然数成立。
第二数学归纳法，若对自然数的命题P(n)，满足：
1、 P(1)成立。
2、 若P(1)，P(2)，……，P(k)成立，则P(k+1)成立
则P(n)对全体自然数成立。
标签：辅助 处理 有序 += 区别 了解 方式 nta length
原文地址：https://www.cnblogs.com/adgjl/p/9653038.html
