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欧几里得算法与扩展欧几里得算法

时间:2019-04-08 21:51:05      阅读:233      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:16px   return   不为   turn   gcd   exgcd   线性   nbsp   span   

1.欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数

  定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

  引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明:

设 r=a%b,c=gcd(a,b);

则 a=cx,b=cy,其中x,y互质

r=a%b=a-pb=cx-cpy=c(x-py)

由 r=c(x-py),b=cy,c=gcd(a,b)

可推得 x-py 与 y 互质

反证法:

假设x-py 与 y 不互质

则y=nk,x-py=mk(k>1)

将y代入可得:

x-pnk=mk

x=(pn+m)k

则 a=cx=ck(pn+m),b=cy=ckn

因为k>1,所以gcd(a,b)=ck

与原命题矛盾,则 x-py与y互质,又因为r=c(x-py),b=cy,

所以gcd(b,r)=c

即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=gcd(a%b,b)

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b?gcd(b,a%b):a;
4 }

 

那么你可能会问 gcd(a,b)=gcd(a,a%b)是否正确?

下面我们来证明一下就知道了。

我们只需证明x与x-py互质就能得到gcd(a,b)=gcd(a,a%b)

反证法:

假设x与x-py不互质

则x=nk,x-py=mk(k>1)

将第二个式子代入第一个式子得:nk-py=mk

化简得:y=((n-m)*k)/p=((n-m)/p)*k

a=cx=cnk,b=cy=((n-m)/p)*ck

当(n-m)/p为正整数时,

那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k,与原命题矛盾,则 y 与 x-py 互质,gcd(a,b)=gcd(a,a%b)。

当(n-m)/p不为正整数时,不成立。

所以 x与x-py互质与否是不确定的。原命题错误。

 

 

 

2.扩展欧几里得算法,简称 exgcd,一般用来求解不定方程,求解线性同余方程,求解模的逆元等

  引理:存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

证明:

当 b=0时,gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0

当b!=0时,设ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

cuz a%b=a-a/b*b

so ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

解得 x1=y2,y1=x2-a/b*y2

因为当b=0时存在x,y为最后一组解

每一组解可根据后一组解推得

所以第一组解必然存在

 

//在求出 a 和 b 的最大公因数 gcd 的同时 ,求出 线性方程 ax + by == g  的一个实数解

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
10     int k=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return r;
14 }

 

欧几里得算法与扩展欧几里得算法

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原文地址:https://www.cnblogs.com/zuiaimiusi/p/10673140.html

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