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算法漫游指北(第十三篇):二叉树的基本概念、满二叉树、完全二叉树、二叉树性质、二叉搜索树、二叉树定义、二叉树的广度优先遍历

时间:2020-07-02 00:19:06      阅读:58      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:rsa   inline   object   个数   search   存储   else   广度优先遍历   tree   

一、二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。

 

两种特殊的二叉树

满二叉树(Full Binary Tree)

一棵满二叉树就是高度为k,且拥有(2^k)-1个节点的二叉树,一棵满二叉树每个节点,要么都有两棵子树,要么都没有子树;而且每一层所有的节点之间必须要么都有两棵子树,要么都没子树。

技术图片

完全二叉树(Complete Binary Tree)

完全二叉树是一颗特殊的二叉树,它遵循以下规则: 假设完全二叉树高度为k,则完全二叉树需要符合以下两点: 1)所有叶子节点都出现在k层或k-1层,并且从1~k-1层必须达到最大节点数。 2)第k层可以是不满的,但是第k层的所有节点必须集中在最左边。

技术图片

 

“完全”和“满”的差异,满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满的。

 

 

 

二叉树的性质

性质1:

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点(i>0)

技术图片

 

上图中: 第1层: 1个: 2^(1-1)=2^0=1

第2层: 1个: 2^(2-1)=2^1=2

第3层: 1个: 2^(3-1)=2^2=4

第4层: 8个: 2^(4-1)=2^3=8

通过数据归纳法,很容易得出在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。

 

性质2:

深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点(k>0)

这里注意是2的k次幂再减1。

如果有一层,最多1=2^1-1个节点

如果有两层,最多1+2=2^2-1个节点

如果有三层,最多1+2+4=2^3-1个节点

如果有四层,最多1+2+4+8=2^4-1个节点

通过数据归纳法的论证,可以得出如果有k层,节点数最多为2k-1。

性质3:

对于任意一棵二叉树,如果其叶节点数为N0,而度数为2的节点总数为N2,则N0=N2+1;

终端节点就是叶子节点,而一棵二叉树,除了叶子节点外,剩下的就是度为1和2的节点了,设n1是度为1的节点数。则树T的节点总数就是n=n0+n1+n2

技术图片

若度为1的节点有 n1个,总节点个数为n,总边数为 e,则根据二叉树的定义,

n=n0+n1+n2

总边数等于每个节点都有一个边,但是根节点有两个,所以e = n-1。

计算总边数的第二种方式,总边数 = 度数为2的节点数乘以2(因为这个节点有2个边)+加上度数为1的节点数

即 e = n1+2n2.

e = n1+2n2= n-1 (方程式1)

n=n0+n1+n2(方程式2)

两个方程式联合得到结果,

移动方程式1,n=n1+2n2+1 (方程式3)

方程式2与方程式2相减,得到结果 0 = n0 -n2-1

即N0=N2+1

性质4:

具有n个节点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)

对性质1结论进行取对数。

 

性质5:

如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号(从第一层到最后一层,每层从左到右),对任一节点i(1<=i<=n)有:

  1. 如果i=1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是节点 ⌊ i/2 ⌋ 。

  2. 如果2i>n,则节点i无左孩子(节点i为叶子节点);否则其左孩子是节点2i 。

  3. 如果2i+1>n,则节点i无右孩子;否则其右孩子是节点2i+1 。

 

二叉搜索树定义

  

二叉搜索树(BST)是二叉树的一种,但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值, 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。

二叉搜索树(Binary Search Tree),又名二叉排序树(Binary Sort Tree)。   二叉搜索树是具有有以下性质的二叉树:   (1)若左子树不为空,则左子树上所有节点的值均小于或等于它的根节点的值。   (2)若右子树不为空,则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值。   (3)左、右子树也分别为二叉搜索树。

 

二叉树的节点表示以及树的创建

通过使用Node类中定义三个属性,分别为elem本身的值,还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, elem, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

#树的创建,创建一个树的类,并给一个root根节点,一开始为空,随后添加节点
class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root
?
    def add(self, elem):
        """为树添加节点"""
        node = Node(elem)
        #如果树是空的,则对根节点赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
            return
        queue = []
        queue.append(self.root)
        #对已有的节点进行层次遍历
        while queue:
            #弹出队列的第一个元素
            cur = queue.pop(0)
            if cur.lchild == None:
                #如果左子树为空,则加到左子树上
                cur.lchild = node
                return
            elif cur.rchild == None:
                #如果右子树为空,则加到右子树上
                cur.rchild = node
                return
            else:
                #如果左右子树都不为空,加入队列继续判断
                queue.append(cur.lchild)
                queue.append(cur.rchild)

  

  

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有节点的信息的访问,即依次对树中每个节点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现(掌握先序、中序、后序的非递归方式)。

 

二叉树的广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点

 

    def breadth_travel(self):
        """广度遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        #这里的队列也可以用python标准库中的collections中的queue
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem, end=" ")
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
 

  

 

 

参考资料

[1]https://juejin.im/post/5ae91ac9f265da0b83368aec

[2]<<大话数据结构 >>

算法漫游指北(第十三篇):二叉树的基本概念、满二叉树、完全二叉树、二叉树性质、二叉搜索树、二叉树定义、二叉树的广度优先遍历

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Nicholas0707/p/13222270.html

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