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前言

这是一个判断大整数是否是质数的算法

讲解

我们如何判断一个数\(n\)是否是质数？首先我们肯定想到的是暴力找因数，时间复杂度为\(O(\sqrt n)\)

但是当\(n\)达到\(10^{18}\)级别时，这个看似优秀的时间复杂度也行不通了

这时候我们就需要Miller Rabbin算法！

首先我们根据费马小定理可知\(a^{p-1} ≡ 1 \pmod p\)，其中\(p\)是质数

如果对于一个\(p\nmid a\)，\(p\)满足上述条件，则有可能是质数，否则一定不是质数

因为有一类数虽然不是质数但也可能满足这个条件，但是如果我们取多个\(a\)判断，失误的概率就会变得很小很小

在此基础上，为了让其更为准确，我们可以使用二次探测

假如\(p-1=k*2^t，x=k*2^{t-1},x^2=p-1\)

\(\because a^{p-1} ≡ 1 \pmod p\)

\(\therefore a^{x^2} - 1 ≡ 0 \pmod p\)

\(\therefore (a^x+1)(a^x-1) ≡ 0 \pmod p\)

\(\therefore a^x ≡ 1 \pmod p\)或者\(a^x ≡ p-1 \pmod p\)

如果不满足这个条件，\(p\)就一定不是质数，因为当且仅当\(p\)为合数时\(a^x\)才可能既不是\(1\)也不是\(p-1\)

反向倒推\(a^x\)太过麻烦，我们可以先求出\(a^{k}\)，对其进行平方，操作\(t\)次

如果现在的值为\(1\)，前一次的值如果不是\(p-1\)，则一定不是质数，否则认为它通过此次测试

代码

bool vis[MAXN];
int prime[MAXN],pn;

void sieve(int x)
{
	for(int i = 2;i <= x;++ i)
	{
		if(!vis[i]) prime[++pn] = i;
		for(int j = 1;j <= pn && i * prime[j] <= x;++ j)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}
LL gsc(LL x,LL y,LL MOD)
{
	LL ret = 0;
	while(y){if(y & 1) ret = (ret + x) % MOD;x = (x << 1) % MOD;y >>= 1;}
	return ret;
}
LL qpow(LL x,LL y,LL MOD)
{
	x %= MOD;
	LL ret = 1;
	while(y){if(y & 1) ret = gsc(ret,x,MOD);x = gsc(x,x,MOD);y >>= 1;}
	return ret;
}
bool mr(LL x,LL p)
{
	LL k = p-1,t = 0;
	while(!(k&1)) k >>= 1,t++;
	LL now = qpow(x,k,p);
	if(now == 1) return 1;
	while(t--)
	{
		LL lst = now;
		now = gsc(now,now,p); 
		if(now == 1)
		{
			if(lst != p-1) return 0;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	sieve(100);
	while(~scanf("%I64d",&n))
	{
		if(n <= 100)
		{
			if(vis[n]) printf("It is not a prime number.\n");
			else printf("It is a prime number.\n");
			continue;
		}
		bool f = 1;
		for(int i = 1;i <= pn;++ i)
			if(!mr(prime[i],n))
			{
				f = 0;
				break;
			}
		if(f) printf("It is a prime number.\n");
		else printf("It is not a prime number.\n");
	}
	return 0;
}

Miller Rabbin算法

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原文地址：https://www.cnblogs.com/PPLPPL/p/13617728.html