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转载自：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/20319673
一、逻辑回归（LogisticRegression）
Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。
还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错 误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指 的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。
Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗？它就是个二分类的例如，它可以将两个不同类别的 样本给分开，思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它，它能够给你的只有一个答案，你这个样本是正类还是负类。例如你问 SVM，某个女生是否喜欢你，它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说，显得太粗鲁了，要不希望，要不绝望，这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我， 她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢，你想都不用想了等等，告诉你她有49%的几率喜欢你，总比直接说她不喜欢你，来得温柔。而且还提供了 额外的信息，她来到你的身边你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百战百胜，哈哈。Logistic regression就是这么温柔的，它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。
还得来点数学。（更多的理解，请参阅参考文献）假设我们的样本是{x, y}，y是0或者1，表示正类或者负类，x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类，也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示：
这里θ是模型参数，也就是回归系数，σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率（也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数）变换得到的：
换句话说，y也就是我们关系的变量，例如她喜不喜欢你，与多个自变量（因素）有关，例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等，我们把这些因素表示为x1, x2,…, xm。 那这个女的怎样考量这些因素呢？最快的方式就是把这些因素的得分都加起来，最后得到的和越大，就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称，每个人考虑的因 素不同，萝卜青菜，各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品，人品的权值是0.6，不看重你有没有钱，没钱了一起努力奋斗，那么有没有钱的权值是 0.001等等。我们将这些对应x1, x2,…, xm的权值叫做回归系数，表达为θ1, θ2,…, θm。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生，非诚勿扰！哈哈。
所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型，它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到 0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响（不知道 理解的是否正确）。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举，也就是在输出加一个logistic函数。另外，对于二分类来说，可以简单的认为：如果样 本x属于正类的概率大于0.5，那么就判定它是正类，否则就是负类。实际上，SVM的类概率就是样本到边界的距离，这个活实际上就让logistic regression给干了。
所以说，LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。
好了，关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下，模型选好了，只是模型的参数θ还是未知的，我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。
LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“从最大似然到EM算法浅解”。
假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是：
上 面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属 于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相 乘）：
那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。
OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，耗时耗力。
我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有xi的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：
这时候，用L(θ)对θ求导，得到：
然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。
二、优化求解
2.1、梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样， 要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：
但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。
对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：
其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但 是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优 值的地方回到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，虽然会落在最优的点，但是这速度如 果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可 以了。所谓采两者之精华啊！这个优化具体见2.3 。
梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
计算整个数据集的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
注：因为本文中是求解的Logit回归的代价函数是似然函数，需要最大化似然函数。所以我们要用的是梯度上升算法。但因为其和梯度下降的原理是一样的，只 是一个是找最大值，一个是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向，最小值的方向就是梯度的负方向。不影响我们的说明，所以当时自己就忘了改过来了，谢谢 评论下面@wxltt的指出。另外，最大似然可以通过取负对数，转化为求最小值。代码里面的注释也是有误的，写的代码是梯度上升，注销成了梯度下降，对大 家造成的不便，希望大家海涵。
2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征 时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的 样本到来的时候对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法来说，我们需要把x和数据库 A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算 法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集的叫“批处理”。
随机梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用alpha xgradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
2.3、改进的随机梯度下降
评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度是否快？
上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本，每个样本都对系数调整一次，所以共有 200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可 恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非 线性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少 对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。
对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：
1） 在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每次迭代系数改变得太大，跳的跨度太 大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微 大点的常数项，具体见代码。
2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。
改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对随机遍历的数据集中的每个样本
随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值
计算该样本的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：
1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。
三、Python实现
# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Dec 29 15:16:40 2014 @author: Administrator """ from numpy import * import matplotlib.pyplot as plt import time def sigmoid(inX): return 1.0 / (1 + exp(-inX)) def trainLogRegres(train_x, train_y, opts): starttime = time.time() numSamples, numFeatures = shape(train_x) print numSamples,numFeatures alpha = opts[‘alpha‘]; maxIter = opts[‘maxIter‘] theta = ones((numFeatures, 1)) #随机梯度下降 for k in range(maxIter): for i in range(numSamples): output = sigmoid(train_x[i, :] * theta) error = train_y[i, 0] - output theta = theta + alpha * train_x[i, :].transpose() * error endtime=time.time() print ‘Training complete! Took %fs!‘ % (endtime - starttime) print theta return theta def testLogRegres(weights, test_x, test_y): numSamples, numFeatures = shape(test_x) matchCount = 0 for i in xrange(numSamples): predict = sigmoid(test_x[i, :] * weights) if predict >= 0.5 : predict = 1 else: predict = 0 if predict == (test_y[i, 0]): matchCount += 1 accuracy = float(matchCount) / numSamples return accuracy def showLogRegres(weights, train_x, train_y): numSamples, numFeatures = shape(train_x) #所有样本 for i in xrange(numSamples): if int(train_y[i, 0]) == 0: plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], ‘or‘) elif int(train_y[i, 0]) == 1: plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], ‘ob‘) #分类线 min_x = min(train_x[:, 1])[0, 0] max_x = max(train_x[:, 1])[0, 0] weights = weights.getA() y_min_x = float(-weights[0] - weights[1] * min_x) / weights[2] y_max_x = float(-weights[0] - weights[1] * max_x) / weights[2] plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], ‘-g‘) plt.xlabel(‘X1‘); plt.ylabel(‘X2‘) plt.show() def loadData(): train_x = [] train_y = [] fileIn = open(‘testSet.txt‘) for line in fileIn.readlines(): lineArr = line.strip().split() train_x.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) train_y.append(float(lineArr[2])) return mat(train_x), mat(train_y).transpose() print "step 1: load data..." train_x, train_y = loadData() test_x = train_x; test_y = train_y print "step 2: training..." opts = {‘alpha‘: 0.01, ‘maxIter‘: 200} optimalWeights = trainLogRegres(train_x, train_y, opts) print "step 3: testing..." accuracy = testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y) print "step 4: show the result..." print ‘The classify accuracy is: %.3f%%‘ % (accuracy * 100) showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)
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