Edit Distance -- LeetCode

这事实上是一道二维动态规划的题目。模型上确实不easy看出来。以下我们来说说递推式。

我们维护的变量res[i][j]表示的是word1的前i个字符和word2的前j个字符编辑的最少操作数是多少。如果我们拥有res[i][j]前的全部历史信息，看看怎样在常量时间内得到当前的res[i][j]，我们讨论两种情况：
1）假设word1[i-1]=word2[j-1]，也就是当前两个字符同样，也就是不须要编辑。那么非常easy得到res[i][j]=res[i-1][j-1]，由于新增加的字符不用编辑。
2）假设word1[i-1]!=word2[j-1]。那么我们就考虑三种操作，假设是插入word1，那么res[i][j]=res[i-1][j]+1，也就是取word1前i-1个字符和word2前j个字符的最好结果。然后加入一个插入操作；假设是插入word2，那么res[i][j]=res[i][j-1]+1，道理同上面一种操作。假设是替换操作。那么类似于上面第一种情况，可是要加一个替换操作（由于word1[i-1]和word2[j-1]不相等），所以递推式是res[i][j]=res[i-1][j-1]+1。

上面列举的情况包括了全部可能性。有朋友可能会说为什么没有删除操作，事实上这里加入一个插入操作永远能得到与一个删除操作同样的效果。所以删除不会使最少操作数变得更好，因此假设我们是正向考虑。则不须要删除操作。取上面几种情况最小的操作数，即为另外一种情况的结果。即res[i][j] = min(res[i-1][j], res[i][j-1], res[i-1][j-1])+1。

接下来就是分析复杂度，算法时间上就是两层循环，所以时间复杂度是O(m*n)，空间上每一行仅仅须要上一行信息，所以能够仅仅用一维数组就可以，我们取m, n中小的放入内层循环。则复杂度是O(min(m,n))。

代码例如以下：

public int minDistance(String word1, String word2) {
    if(word1.length()==0)
        return word2.length();
    if(word2.length()==0)
        return word1.length();
    String minWord = word1.length()>word2.length()?word2:word1;
    String maxWord = word1.length()>word2.length()?
word1:word2;
    int[] res = new int[minWord.length()+1];
    for(int i=0;i<=minWord.length();i++)
    {
        res[i] = i;
    }
    for(int i=0;i<maxWord.length();i++)
    {
        int[] newRes = new int[minWord.length()+1];
        newRes[0] = i+1;
        for(int j=0;j<minWord.length();j++)
        {
            if(minWord.charAt(j)==maxWord.charAt(i))
            {
                newRes[j+1]=res[j];
            }
            else
            {
                newRes[j+1] = Math.min(res[j],Math.min(res[j+1],newRes[j]))+1;
            }
        }
        res = newRes;
    }
    return res[minWord.length()];
}