256位NIST素域椭圆曲线运算优化细节之一(单个素数p的加减法)

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在素域椭圆曲线运算过程中，256位加法和减法运算结果常常位于区间[0,p)之外的情形，需要做+p或是-p的运算

256位NIST素域椭圆曲线参数p的生成公式为：

p = 2^256 ? 2^224 + 2^192 + 2^96 ? 1

按照符号将此式分解得：

p = (2^256 + 2^192 + 2^96) - (2^224 + 1)

转化为16进制并按64位分节，变成下面的形式：

+: 0000000000000001 0000000000000000 0000000100000000 0000000000000000
-: 0000000100000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000001
=: ffffffff00000001 0000000000000000 00000000ffffffff ffffffffffffffff

仔细观察可以发现，所涉及64位加法和减法中，只出现一个64位立即数：

0000000100000000

假设某次256位减法最终发生借位，其低256位数值保存于寄存器r8:r11中，现在需要+p运算以修正之，若是用构成p的4个立即数直接运算的话，其代码如下：

addq    $0xffffffffffffffff, %r8
adcq    $0xffffffff, %r9
adcq    $0x0, %r10
adcq    $0xffffffff00000001, %r11

由x64指令特性可知，这么书写是不允许的，只有操作寄存器rax才可以使用大于32位的立即数，通过前面的分析可知，可以将4个加法转化为3个加法和4个减法来实现，其代码如下：

movq    $0x100000000, %rax
addq    %rax, %r9
adcq    $0x0, %r10
adcq    $0x1, %r11
#---
subq    $0x1, %r8
sbbq    $0, %r9
sbbq    $0, %r10
sbbq    %rax, %r11

有没有其它方法呢？当然有，比如可以预先将素数p的4个64位数值保存于寄存器r12:r15中，其代码如下：

addq    %r12, %r8
adcq    %r13, %r9
adcq    %r14, %r10
adcq    %r15, %r11

为了一个256位常数牺牲4个通用寄存器是万不得已的选择，除非此运算占据整体运算的大部分，才值得这么做，比如对素数p求乘法逆时，超过80%的运算都是+/-p，此时有必要将素数p直接保存在通用寄存器中以便随时使用。

256位NIST素域椭圆曲线运算优化细节之一(单个素数p的加减法)

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