LeetCode Longest Increasing Subsequence

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原题链接在这里：https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/

 是一道DP问题，参考这篇帖子：http://blog.csdn.net/left_la/article/details/11951085

5，3，4，8，6，7

根据上面找到的状态，我们可以得到：（下文的最长非降子序列都用LIS表示）

• 前1个数的LIS长度d(1)=1(序列：5)
• 前2个数的LIS长度d(2)=1(序列：3；3前面没有比3小的)
• 前3个数的LIS长度d(3)=2(序列：3，4；4前面有个比它小的3，所以d(3)=d(2)+1)
• 前4个数的LIS长度d(4)=3(序列：3，4，8；8前面比它小的有3个数，所以 d(4)=max{d(1),d(2),d(3)}+1=3)

OK，分析到这，我觉得状态转移方程已经很明显了，如果我们已经求出了d(1)到d(i-1)， 那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到：

d(i) = max{1, d(j)+1},其中j<i,A[j]<=A[i]

用大白话解释就是，想要求d(i)，就把i前面的各个子序列中， 最后一个数小于A[i]的序列长度加1，然后取出最大的长度即为d(i)。 当然了，有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i]，那么d(i)=1， 即它自身成为一个长度为1的子序列。

Time Complexity: O(n^2). Space O(n).

AC Java:

 1 public class Solution {
 2     public int lengthOfLIS(int[] nums) {
 3         if(nums == null || nums.length == 0){
 4             return 0;
 5         }
 6         
 7         int [] count = new int[nums.length];
 8         int longest = 1;
 9         
10         for(int i = 0; i<nums.length; i++){
11             count[i] = 1;
12             for(int j = 0; j<i; j++){
13                 if(nums[j]<nums[i] && count[j]+1 > count[i]){
14                     count[i] = count[j]+1;
15                 }
16             }
17             if(longest < count[i]){
18                 longest = count[i];
19             }
20         }
21         return longest;
22     }
23 }

Follow-up 是要用O(n*logn)时间.

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

AC Java:

 1 public class Solution {
 2     public int lengthOfLIS(int[] nums) {
 3         if(nums == null || nums.length == 0){
 4             return 0;
 5         }
 6         int longest = 1;
 7         int [] minLast = new int[nums.length+1];
 8         minLast[0] = nums[0];
 9         for(int i = 1; i<nums.length; i++){
10             int pos = bs(minLast, 0, longest-1, nums[i]);
11             minLast[pos] = nums[i];
12             if(pos+1>longest){
13                 longest = pos+1;
14             }
15         }
16         return longest;
17     }
18     private int bs(int [] arr, int l, int r, int key){
19         if(arr[r]<key){
20             return r+1;
21         }
22         while(l<r){
23             int mid = l+(r-l)/2;
24             if(arr[mid] < key){
25                 l = mid+1;
26             }else{
27                 r=mid;
28             }
29         }
30         return l;
31     }
32 }

LeetCode Longest Increasing Subsequence

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Dylan-Java-NYC/p/4935660.html