NOI2010航空管制

2008: [Noi2010]航空管制

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Description

世博期间，上海的航空客运量大大超过了平时，随之而来的航空管制也频频发生。最近，小X就因为航空管制，连续两次在机场被延误超过了两小时。对此，小X表示很不满意。在这次来烟台的路上，小X不幸又一次碰上了航空管制。于是小X开始思考关于航空管制的问题。假设目前被延误航班共有n个，编号为1至n。机场只有一条起飞跑道，所有的航班需按某个顺序依次起飞（称这个顺序为起飞序列）。定义一个航班的起飞序号为该航班在起飞序列中的位置，即是第几个起飞的航班。起飞序列还存在两类限制条件：第一类（最晚起飞时间限制）：编号为i的航班起飞序号不得超过ki; 第二类（相对起飞顺序限制）：存在一些相对起飞顺序限制(a, b)，表示航班a的起飞时间必须早于航班b，即航班a的起飞序号必须小于航班b的起飞序号。小X思考的第一个问题是，若给定以上两类限制条件，是否可以计算出一个可行的起飞序列。第二个问题则是，在考虑两类限制条件的情况下，如何求出每个航班在所有可行的起飞序列中的最小起飞序号。

Input

第一行包含两个正整数n和m，n表示航班数目，m表示第二类限制条件（相对起飞顺序限制）的数目。第二行包含n个正整数k1, k2, …, kn。接下来m行，每行两个正整数a和b，表示一对相对起飞顺序限制(a, b)，其中1≤a,b≤n, 表示航班a必须先于航班b起飞。

Output

第一行包含n个整数，表示一个可行的起飞序列，相邻两个整数用空格分隔。输入数据保证至少存在一个可行的起飞序列。如果存在多个可行的方案，输出任意一个即可。第二行包含n个整数t1, t2, …, tn，其中ti表示航班i可能的最小起飞序号，相邻两个整数用空格分隔。

Sample Input

【样例输入1】
5 5

4 5 2 5 4

1 2

3 2

5 1

3 4

3 1

【样例输入2】
5 0

3 3 3 5 5

Sample Output

【样例输出1】
3 5 1 4 2

3 4 1 2 1

【样例输出2】
3 2 1 5 4

1 1 1 4 4

【样例说明】
在样例1 中：

起飞序列3 5 1 4 2满足了所有的限制条件，所有满足条件的起飞序列有：

3 4 5 1 2 3 5 1 2 4 3 5 1 4 2 3 5 4 1 2

5 3 1 2 4 5 3 1 4 2 5 3 4 1 2

由于存在(5, 1)和(3, 1)两个限制，航班1只能安排在航班5和3之后，故最早起飞时间为3，其他航班类似。

在样例2 中：

虽然航班4、5没有相对起飞顺序限制，但是由于航班1、2、3都必须安排在前3个起飞，所以4、5最早只能安排在第4个起飞。

HINT

【数据范围】
对于30%数据：n≤10；

对于60%数据：n≤500；

对于100%数据：n≤2,000，m≤10,000。

Source

Day2

题解：

好恶心的贪心，从来没做过这样的……

某人的题解+代码：

不错的一道贪心。

首先看第一问，要求输出一个可行的方案。

只需要倒过来，也就是如果i必须在j前面，那么从j向i连边。然后每一个点的初始权值wi表示最晚可以什么时候进，就是那个最晚的时间ki，然后按拓扑序跑一遍，用每一个点i的wi-1去更新其后继j的wj值，（取min）这样就求出了每一个点的可能的最晚时间。

然后排个序，从小到大输出即可。（呵呵！保证了有合法序列真好）。

第一问的贪心还是很好想的，至于证明的话：考虑每一个点让它尽可能的跑最晚的时间在有可行解的情况下肯定是能够跑出可行解的。

第二问就比第一问难了。

对于一个点i，在不考虑别的点的情况下，肯定答案就是1了，现在考虑哪些情况会让它不得不推后。

1：其前驱一定是要在前面的。

2：有些没有被安排在i的前面的点j的wj小于i当前的时间。

3：这种情况就比较奇葩了。就是虽然现在的j的限制是满足的，但是加上之前没有放在i前面的点之后就悲剧了。

对于第一种情况bfs就够了。

对于第二种情况和第三种情况，pi,表示现在求i的最小进入时间，（初始由bfs得出）然后从小到大扫描。

第二种情况：判断wj是否<=pi,如果是，则++pi。

第三种情况：看当前累积的放在i后面的个数和已经在i前面的个数加起来是不是可以满足j的限制，如果可以，当然继续丢i后面，否则就把j前面的没有在i前面的全部放在i前面。

这样，问题就完美解决了。

代码：

 1 const maxn=2000+10;maxm=10000+10;
 2 type node=record
 3      go,next:longint;
 4      end;
 5 var head,deg,inp,a,b,q:array[0..maxn] of longint;
 6     h,t,i,n,m,x,y:longint;
 7     e:array[0..maxm] of node;
 8 procedure sort(l,r:longint);
 9  var i,j,m,temp:longint;
10  begin
11  i:=l;j:=r;x:=a[(i+j)>>1];
12  repeat
13   while b[a[i]]<b[x] do inc(i);
14   while b[a[j]]>b[x] do dec(j);
15   if i<=j then
16    begin
17    y:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=y;
18    inc(i);dec(j);
19    end;
20  until i>j;
21  if i<r then sort(i,r);
22  if j>l then sort(l,j);
23  end;
24 procedure init;
25  begin
26  readln(n,m);
27  for i:=1 to n do
28   begin
29   read(b[i]);
30   b[i]:=n-b[i];
31   a[i]:=i;
32   end;
33  sort(1,n);
34  for i:=1 to m do
35   begin
36   readln(y,x);
37   e[i].go:=y;inc(inp[y]);e[i].next:=head[x];head[x]:=i;
38   end;
39  end;
40 procedure work(x:longint);
41  var i,p,j,u,v:longint;
42  begin
43  deg:=inp;
44  h:=0;t:=0;p:=1;
45  for i:=1 to n do
46   begin
47    while (p<=n) and (b[a[p]]<i) do
48     begin
49     v:=a[p];
50     if (deg[v]=0) and (v<>x) then
51      begin
52       inc(t);q[t]:=v;
53      end;
54     inc(p);
55     end;
56    if h<t then
57     begin
58     inc(h);
59     u:=q[h];
60     j:=head[u];
61     while j<>0 do
62      begin
63      v:=e[j].go;
64      dec(deg[v]);
65      if (deg[v]=0) and (v<>x) and (b[v]<i) then
66       begin
67       inc(t);q[t]:=v;
68       end;
69      j:=e[j].next;
70      end;
71     end
72    else exit;
73   end;
74  end;
75 procedure main;
76  begin
77  work(0);
78  for i:=t downto 1 do write(q[i],‘ ‘);writeln;
79  for i:=1 to n do
80   begin
81    work(i);
82    write(n-t,‘ ‘);
83   end;
84  end;
85 begin
86  assign(input,‘input.txt‘);assign(output,‘output.txt‘);
87  reset(input);rewrite(output);
88  init;
89  main;
90  close(input);close(output);
91 end.

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