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从这篇文章开始，我们开始在数论这块“森林”的探秘了。
整除性：
数论中的整除性问题无非是研究数的约数、倍数，约数和倍数是一对相对的概念，如果a是b的约数，那么b就是a的倍数。我们常常用a|b来表示b能够整除a，即b/a是整数，但是“|”在使用的过程中容易和绝对值、几何定义符、条件概率混淆，所以，这里我们用a\b来表示a能够整除b。
约数：如果b\a，则称b是a的约数。
倍数：如果b\a，则称a是b的倍数。
最大公约数：gcd(a,b) = max{k | k\a 且k\b}。
最小公倍数：lcm(a,b) = min{k} k>0 , a\k 且b\k}
我们来探讨计算gcd(a,b)的欧几里得算法。
它基于一个重要的递推式——gcd(m,n) = gcd(n % m, m)以及gcd(0,n) = n。(其实这个递推式的证明笔者在另一篇文章中介绍过。)
欧几里得算法还可以给我们带来更多的东西，我们基于它进行推广，用它来求解如下的一个方程的解(m‘，n’)：
m‘m + n‘n = gcd(m,n) ①
可以看到，如果m = 0，这个方程显然有无数组解。
如果m != 0，基于欧几里得算法的递推式，我们取r = n % m , 则可将①进行等价转化，即r‘r + m‘‘m = gcd(r,m) ② ，可以看到r = n- (int)(n/m)m,我们将r带入到②中，并进行如下的化简运算。
r‘[n - (int)(n/m)m] + m‘‘m = gcd(r,m) => r‘n + [m‘‘ - r‘(int)(n/m)] = gcd(r,m) ③
容易看到，由于gcd(r,m) = gcd(m,n),等式①③是等价的，因此我们会得到如下的等式：
n‘ = r‘ ④
m‘ = m‘‘ - r‘(int)(n/m) ⑤
因此对于我们想要求解的①式的解(m‘,n‘)，我们显然还需要知道②式的解(m‘‘,r‘)，这便形成了递归的求解模式。
对于①方程的求解，在数论领域的很多地方都会涉及，在这里基于它还有一个简单的推论：k\m , k\n 是k\gcd(m,n)的充分必要条件。
证明：充分性，k是m、n的公因子，显然k是gcd(m,n)的因子。
必要性，k是gcd(m,n)的因子，显然k既是m的因子，也是n的因子。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5479171.html
