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题目

分析

本题也是一个动态规划算法的典型应用。需要维护一个长度为N的数组dp；dp[i]代表在以arr[i]这个数 为结尾的情况下，arr[0...i]中的最长递增子序列长度。

方法一：复杂度O(n^2)求解数组dp

• dp[0] = 1，接下来从左向右依次算出以每个位置的数结尾的情况下，最长递增子序列长度；
• 假设计算到位置i，求以arr[i]为结尾的情况下最长递增子序列长度dp[i]。如果最长递增子序列以arr[i]结尾，那么在arr[0...i-1]中，所有比arr[i]小的数都可以作为倒数第二个数。这么多倒数第二个数的选择中，以哪个数结尾的最长递增子序列长度更大，就选那个数作为倒数第二数。所以，dp[i] = max(dp[j]+1, (0 <= j < i && arr[j] < arr[i]))；
• 如果arr[0...i-1]中的数都大于arr[i]，则dp[i] = 1:

方法二：

在上个方法中，我们用线性复杂度求出arr[0...i-1]中作为倒数第二个数。此步骤可以利用二分的思想降低到O(logn)；

代码

/*
4.5 最长递增子序列
给定一个整数序列arr，长度为N，找到最长上升子序列（LIS），返回LIS的长度。

举例：
给出 [5,4,1,2,3]，LIS 是 [1,2,3]，返回 3
给出 [4,2,4,5,3,7]，LIS 是 [4,4,5,7]，返回 4
*/
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

//O(n^2)的复杂度
vector<int> getDp1(vector<int> &nums)
{
	if (nums.empty())
	{
		return vector<int>();
	}//if

	int len = nums.size();
	vector<int> dp(len, 0);
	for (int i = 0; i < len; ++i)
	{
		dp[i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j)
		{
			if (nums[i] >= nums[j])
			{
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
			}//if
		}//for
	}//for

	return dp;
}

//O(nlogn)的复杂度（针对不含重复元素的最长递增子序列）
vector<int> getDp2(vector<int> &nums)
{
	if (nums.empty())
	{
		return vector<int>();
	}//if

	int len = nums.size();
	vector<int> dp(len, 0), ends(len, 0);
	dp[0] = 1;
	ends[0] = nums[0];

	int right = 0;

	int l = 0, r = 0, m = 0;
	for (int i = 1; i < len; ++i)
	{
		l = 0;
		r = right;
		/*采用二分的思想，降低复杂度*/
		while (l <= r)
		{
			m = (l + r) / 2;
			if (nums[i] < ends[m])
			{
				l = m + 1;
			}//if
			else {
				r = m - 1;
			}//else
		}//while

		right = max(right, l);
		ends[l] = nums[i];
		dp[i] = l + 1;
	}//for

	return dp;
}

//动态规划
int longestIncreasingSubsequence(vector<int> nums) {
	// write your code here
	if (nums.empty())
	{
		return 0;
	}//if

	vector<int> dp = getDp1(nums);
	int maxLen = 0, len = dp.size();
	for (int i = 0; i < len; ++i)
	{
		if (dp[i] > maxLen)
		{
			maxLen = dp[i];
		}//if
	}//for

	return maxLen;
}


int main()
{
	vector<int> v = { 5,4,1,2,3 };
	cout << longestIncreasingSubsequence(v) << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

最长递增子序列

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原文地址：http://blog.csdn.net/fly_yr/article/details/51366389