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划分树，类似线段树，主要用于求解某个区间的第k 大元素（时间复杂度log(n)），快排本也可以快速找出，但快排会改变原序列，所以每求一次都得恢复序列。
下面就以 POJ 2104 进行解说：
题目意思就是，给你n 个数的原序列，有m 次询问，每次询问给出l、r、k，求原序列l 到r 之间第k 大的数。n范围10万，m范围5千，这道题用快排也可以过，快排过的时间复杂度n*m，而划分树是m*logn（实际上应该是nlogn才对，因为建图时间是nlogn，n又比m大），分别AC后，时间相差很明显。
划分树，顾名思义是将n 个数的序列不断划分，根结点就是原序列，左孩子保存父结点所有元素排序后的一半，右孩子也存一半，也就是说排名1 -> mid的存在左边，排名(mid+1) -> r 的存在右边，同一结点上每个元素保持原序列中相对的顺序。见下图：
红点标记的就是进入左孩子的元素。
当然，一般不会说每个结点开个数组存数，经观察，每一层都包含原本的n 个数，只是顺序不同而已，所以我们可以开val[20][N]来保存，也就是说共20层，每一层N个数。
我们还需要一个辅助数组num，num[i]表示i 前面有多少数进入左孩子（i 和i 前面可以弄成本结点内也可以是所有，两种风格不同而已，下面采取的是本结点内），和val一样，num也开成num[20][N]，来表示每一层，i 和i 前面（本结点）有多少进入左孩子。
第一层：1 进入左孩子，num[1]=1，5 进入右孩子，num[2]=1，...，num[8]=4。
第二层：5 进入左孩子，num[5]=1，6 进入右孩子，num[6]=1，...，num[8]=2。
建图时就是维护每一层val[]和num[]的值就可以了。
1 int sorted[N]; //排序好的数组
2 //是一棵树，但把同一层的放在一个数组里。
3 int num[20][N]; //num[i] 表示i前面有多少个点进入左孩子
4 int val[20][N]; //20层,每一层元素排放，0层就是原数组
5 void build(int l,int r,int ceng)
6 {
7 if(l==r) return ;
8 int mid=(l+r)/2,isame=mid-l+1; //isame保存有多少和sorted[mid]一样大的数进入左孩子
9 for(int i=l;i<=r;i++) if(val[ceng][i]<sorted[mid]) isame--;
10 int ln=l,rn=mid+1; //本结点两个孩子结点的开头，ln左
11 for(int i=l;i<=r;i++)
12 {
13 if(i==l) num[ceng][i]=0;
14 else num[ceng][i]=num[ceng][i-1];
15 if(val[ceng][i]>sorted[mid])
16 {
17 val[ceng+1][rn++]=val[ceng][i];
18 }
19 else if(val[ceng][i]<sorted[mid] || isame>0)
20 {
21 val[ceng+1][ln++]=val[ceng][i];
22 num[ceng][i]++;
23 if(val[ceng][i]==sorted[mid]) isame--;
24 }
25 }
26 build(l,mid,ceng+1);
27 build(mid+1,r,ceng+1);
28 }
查询时，比如要查找2 到6 之间第3 大的数，那么先判断2 到6 之间有多少元素进入左子树，（在此忽略细节）num[6]-num[2-1]=2，就说明2 到6 有两个数进入左子树，又因为我们要找的是第3 大的数，所以一定在右子树中。可以算出，下标2 前面有0 个数进入右子树，所以2 到6 之间进入右子树的元素在下一层一定是从5 开始排的，2 到6 的区间进入右子树3 个，所以下一层从5 排到7 都是原本2 到6 之间的。现在，因为去左子树两个，所以现在要在右子树找5 到7 之间排名第1 的元素。在下一层的查找步骤和第一层一样，也就是不断递归，当跑到叶子结点时就可以返回正确的值了。
1 int look(int ceng,int sl,int sr,int l,int r,int k)
2 {
3 if(sl==sr) return val[ceng][sl];
4 int ly; //ly 表示l 前面有多少元素进入左孩子
5 if(l==sl) ly=0; //和左端点重合时
6 else ly=num[ceng][l-1];
7 int tolef=num[ceng][r]-ly; //这一层l到r之间进入左子树的有tolef个
8 if(tolef>=k)
9 {
10 return look(ceng+1,sl,(sl+sr)/2,sl+ly,sl+num[ceng][r]-1,k);
11 }
12 else
13 {
14 // l-sl 表示l前面有多少数，再减ly 表示这些数中去右子树的有多少个
15 int lr = (sl+sr)/2 + 1 + (l-sl-ly); //l-r 去右边的开头位置
16 // r-l+1 表示l到r有多少数，减去去左边的，剩下是去右边的，去右边1个，下标就是lr，所以减1
17 return look(ceng+1,(sl+sr)/2+1,sr,lr,lr+r-l+1-tolef-1,k-tolef);
18 }
19 }
上述的查询采取了二分的思路，所以时间复杂度logn。建图时，每一层n 个元素，共有logn 层，所以时间复杂度是nlogn。
上题AC代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #define N 100010 5 using namespace std; 6 typedef long long LL; 7 int a[N]; //原数组 8 int sorted[N]; //排序好的数组 9 //是一棵树，但把同一层的放在一个数组里。 10 int num[20][N]; //num[i] 表示i前面有多少个点进入左孩子 11 int val[20][N]; //20层,每一层元素排放，0层就是原数组 12 void build(int l,int r,int ceng) 13 { 14 if(l==r) return ; 15 int mid=(l+r)/2,isame=mid-l+1; //isame保存有多少和sorted[mid]一样大的数进入左孩子 16 for(int i=l;i<=r;i++) if(val[ceng][i]<sorted[mid]) isame--; 17 int ln=l,rn=mid+1; //本结点两个孩子结点的开头，ln左 18 for(int i=l;i<=r;i++) 19 { 20 if(i==l) num[ceng][i]=0; 21 else num[ceng][i]=num[ceng][i-1]; 22 if(val[ceng][i]>sorted[mid]) 23 { 24 val[ceng+1][rn++]=val[ceng][i]; 25 } 26 else if(val[ceng][i]<sorted[mid] || isame>0) 27 { 28 val[ceng+1][ln++]=val[ceng][i]; 29 num[ceng][i]++; 30 if(val[ceng][i]==sorted[mid]) isame--; 31 } 32 } 33 build(l,mid,ceng+1); 34 build(mid+1,r,ceng+1); 35 } 36 37 int look(int ceng,int sl,int sr,int l,int r,int k) 38 { 39 if(sl==sr) return val[ceng][sl]; 40 int ly; //ly 表示l 前面有多少元素进入左孩子 41 if(l==sl) ly=0; //和左端点重合时 42 else ly=num[ceng][l-1]; 43 int tolef=num[ceng][r]-ly; //这一层l到r之间进入左子树的有tolef个 44 if(tolef>=k) 45 { 46 return look(ceng+1,sl,(sl+sr)/2,sl+ly,sl+num[ceng][r]-1,k); 47 } 48 else 49 { 50 // l-sl 表示l前面有多少数，再减ly 表示这些数中去右子树的有多少个 51 int lr = (sl+sr)/2 + 1 + (l-sl-ly); //l-r 去右边的开头位置 52 // r-l+1 表示l到r有多少数，减去去左边的，剩下是去右边的，去右边1个，下标就是lr，所以减1 53 return look(ceng+1,(sl+sr)/2+1,sr,lr,lr+r-l+1-tolef-1,k-tolef); 54 } 55 } 56 57 int main() 58 { 59 int n,m,l,r,k; 60 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 61 { 62 63 for(int i=1;i<=n;i++) 64 { 65 scanf("%d",&val[0][i]); 66 sorted[i]=val[0][i]; 67 } 68 sort(sorted+1,sorted+n+1); 69 build(1,n,0); 70 while(m--) 71 { 72 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); 73 printf("%d\n",look(0,1,n,l,r,k)); 74 } 75 } 76 return 0; 77 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hchlqlz-oj-mrj/p/5744308.html
