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第一节、方程组的几何解释

时间:2016-08-08 00:47:10      阅读:195      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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一、线性方程组

  啥是方程组?把一堆方程放在一起就是方程组。比如:  技术分享是方程组,技术分享也是方程组。相关概念就不多叙述了,如有需要请自行百度。

  另外说说线性,所谓线性,就是指量与量之间按比例、成直线的关系。换句话说,线性代数里研究的所有变量都是一次的,所以千万不要在这里脑抽问遇到x2+y=1咋办啊之类的问题呦。至于线性方程的其他性质,自行百度。

二、方程组的矩阵表示

(1)先以两方程两未知数的举例:

  现在有一个方程组  技术分享 

  我们把变量的系数单独拿出,得到这样的一个矩阵 技术分享(没错,介货就是矩阵,可以看出它的数字排列和上面方程组的系数是一一对应的),我们管这个矩阵叫做系数矩阵,用A表示。

  然后,我们用两个未知数组成一个向量技术分享(为啥叫向量呢?因为人家就一列啊),用x表示。

  最后,再写出一个向量技术分享,没错,这货是由两个方程的得数组成的,用b表示。

 

  经过上面的步骤,就可以得到方程组的矩阵表示了,让我们对比着看一下

   技术分享

   技术分享

  Ax=b

(2)同理,三方程三未知数(以及其他情况)的方程组也可以用相同的方法进行表示。

  技术分享

  技术分享

  Ax=b

 

三、方程组的几何解释

(1)先以两方程两未知数进行举例:

  首先,瞎编一个方程组 技术分享(为了方便绘图,这里的方程组和之前所用的不同)

 

  第一步,我们作该方程组的行图像

  一次拿一行(一个方程),在xy坐标系上做出方程的图像。

  如图可知,红色的是x+y=1的图像,绿色的是x-2y=4的图像,交点坐标(2,-1),so,x=2,y=-1为方程组的解

  技术分享

  行图像大家都非常熟悉了,在此不做过多介绍

  第二步,我们看一下列图像

  首先,我们写出方程组技术分享 ,顺便写出矩阵形式技术分享

  然后,我们按列将系数拿出,写成如下形式技术分享(在此处,我们实际是将系数矩阵A的每一列作为一个向量拿出)。

  现在,我们的任务是寻找一对合适的xy,使得x倍的向量技术分享与y倍的向量技术分享能组合成向量技术分享(线性组合)。

  三个向量图形如下

  技术分享

  在前面我们已经求出方程组的解为x=2,y=-1,让我们将其带入,看看会发生什么

  技术分享

  带入后发现,所得到的向量就是向量b。

  让我们分析一下计算过程,将2倍的向量技术分享与-1倍的向量技术分享进行线性组合,上方2*1+(-1)*1=1、下方2*1+(-1)*(-2)=4,由此得到技术分享

  事实上,若两个分量(即我们提取出来的两个列向量)不共线,他们的线性组合可以构成xy坐标系内的任意一个向量。这个以后再讨论

 

(2)两方程两未知数的说完了,让我们看看三方程三未知数的情况

  先召唤一个方程组 技术分享

  第一步,作该方程组的行图像

  两未知数的方程作图是一条直线,而三未知数的方程作图是一个平面,理论上(有解时)三个平面会相交于一点,该点坐标即为方程组的解。所以,我相信你能脑补出来图像的对不对?(好吧,其实是我不会画图)

  第二步,作方程组的列图像 

  如果这里我也说自行脑补会有人打我么……

  其实是可以脑补出来的对吧(这里等我软件弄好了再补上)

  OK,这里挖了坑,以后再填上

四、矩阵乘以向量计算

  这里简单介绍下矩阵和向量相乘的计算,完整矩阵相乘版以后会讲

  首先召唤一个矩阵和一个向量,比如 技术分享,它们两个相乘可以看作取四个第一列和一个第二列然后相加,即技术分享 ,也就是技术分享 技术分享技术分享技术分享

  当然,还有另外一种方法,此方法见于各种线代书之中,可用于所有矩阵乘法,不过讲道理,太麻烦,我忘了,自己去查吧……

 

第一节、方程组的几何解释

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Dumblidor/p/5747628.html

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