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最大似然估计

时间:2017-02-27 18:56:59      阅读:267      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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最大似然估计学习总结------MadTurtle

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1. 作用

在已知试验结果(即是样本)的情况下,用来估计满足这些样本分布的参数,把可能性最大的那个参数技术分享作为真实技术分享的参数估计。

2. 离散型

技术分享为离散型随机变量,技术分享为多维参数向量,如果随机变量技术分享相互独立且概率计算式为P{技术分享,则可得概率函数为P{技术分享}=技术分享,在技术分享固定时,上式表示技术分享的概率;当技术分享已知的时候,它又变成技术分享的函数,可以把它记为技术分享,称此函数为似然函数。似然函数值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小,既然已经得到了样本值技术分享,那么它出现的可能性应该是较大的,即似然函数的值也应该是比较大的,因而最大似然估计就是选择使技术分享达到最大值的那个技术分享作为真实技术分享的估计。

3. 连续型

技术分享为连续型随机变量,其概率密度函数为技术分享技术分享为从该总体中抽出的样本,同样的如果技术分享相互独立且同分布,于是样本的联合概率密度为技术分享。大致过程同离散型一样。

4. 关于概率密度(PDF)

我们来考虑个简单的情况(m=k=1),即是参数和样本都为1的情况。假设进行一个实验,实验次数定为10次,每次实验成功率为0.2,那么不成功的概率为0.8,用y来表示成功的次数。由于前后的实验是相互独立的,所以可以计算得到成功的次数的概率密度为:

技术分享=技术分享 其中y技术分享

 

由于y的取值范围已定,而且技术分享也为已知,所以图1显示了y取不同值时的概率分布情况,而图2显示了当技术分享时的y值概率情况。

技术分享

图1 技术分享时概率分布图

技术分享

图2 技术分享时概率分布图

那么技术分享在[0,1]之间变化而形成的概率密度函数的集合就形成了一个模型。

5. 最大似然估计的求法

由上面的介绍可以知道,对于图1这种情况y=2是最有可能发生的事件。但是在现实中我们还会面临另外一种情况:我们已经知道了一系列的观察值和一个感兴趣的模型,现在需要找出是哪个PDF(具体来说参数技术分享为多少时)产生出来的这些观察值。要解决这个问题,就需要用到参数估计的方法,在最大似然估计法中,我们对调PDF中数据向量和参数向量的角色,于是可以得到似然函数的定义为:

技术分享

该函数可以理解为,在给定了样本值的情况下,关于参数向量技术分享取值情况的函数。还是以上面的简单实验情况为例,若此时给定y为7,那么可以得到关于技术分享的似然函数为:

技术分享

继续回顾前面所讲,图1,2是在给定技术分享的情况下,样本向量y取值概率的分布情况;而图3是图1,2横纵坐标轴相交换而成,它所描述的似然函数图则指出在给定样本向量y的情况下,符合该取值样本分布的各种参数向量技术分享的可能性。若技术分享相比于技术分享,使得y=7出现的可能性要高,那么理所当然的技术分享要比技术分享更加接近于真正的估计参数。所以求技术分享的极大似然估计就归结为求似然函数技术分享的最大值点。那么技术分享取何值时似然函数技术分享最大,这就需要用到高等数学中求导的概念,如果是多维参数向量那么就是求偏导。

技术分享

图3 技术分享的似然函数分布图

主要注意的是多数情况下,直接对变量进行求导反而会使得计算式子更加的复杂,此时可以借用对数函数。由于对数函数是单调增函数,所以技术分享技术分享具有相同的最大值点,而在许多情况下,求技术分享的最大值点比较简单。于是,我们将求技术分享的最大值点改为求技术分享的最大值点。

技术分享

 

若该似然函数的导数存在,那么对技术分享关于参数向量的各个参数求导数(当前情况向量维数为1),并命其等于零,得到方程组:

技术分享

 

可以求得技术分享时似然函数有极值,为了进一步判断该点位最大值而不是最小值,可以继续求二阶导来判断函数的凹凸性,如果技术分享的二阶导为负数那么即是最大值,这里再不细说。

还要指出,若函数技术分享关于技术分享的导数不存在,我们就无法得到似然方程组,这时就必须用其它的方法来求最大似然估计值,例如用有界函数的增减性去求技术分享的最大值点

6. 总结

最大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。

求最大似然函数估计值的一般步骤: 
(1) 写出似然函数
(2) 对似然函数取对数,并整理
(3) 求导数
(4) 解似然方程

对于最大似然估计方法的应用,需要结合特定的环境,因为它需要你提供样本的已知模型进而来估算参数,例如在模式识别中,我们可以规定目标符合高斯模型。而且对于该算法,我理解为,“知道”和“能用”就行,没必要在程序设计时将该部分实现,因为在大多数程序中只会用到我最后推导出来的结果。个人建议,如有问题望有经验者指出。在文献[1]中讲解了本文的相关理论内容,在文献[2]附有3个推导例子。

7. 参考文献

[1]I.J. Myung. Tutorial on maximum likelihood estimation[J]. Journal of Mathematical Psychology, 2003, 90-100.

[2] http://edu6.teacher.com.cn/ttg006a/chap7/jiangjie/72.htm

最大似然估计

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原文地址:http://www.cnblogs.com/chenhuan001/p/6475607.html

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