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1、一开始读题,65|f(x)是什么意思都不清楚,最后百度才知道是f(x)能被65整除。
2、而且写这题完全没有思路,数论不好,我是根据网上的思路写的。
思路:
则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;
很容易证明,除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a:题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;
事实上,由于x取任何值都需要能被65整除.那么用数学归纳法.只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立.
那么把f(x+1)展开,得到5*( ( 13 0 )x^13 + (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0)+13*( ( 5 0 )x^5+(5 1 )x^4......其实就是二项式展开,这里就省略了 ......+ ( 5 5 )x^0 )+k*a*x+k*a;——————这里的( n m)表示组合数,相信学过2项式定理的朋友都能看明白.
然后提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x。
则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;
很容易证明,除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a
所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.
假设存在这个数a,因为对于任意x方程都成立,所以,当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出,这可得出f(x)=n*65;
即:18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。
ax+by = c的方程有解的一个充要条件是:c%gcd(a, b) == 0。
然后枚举直到65*n-18%k == 0为止。
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <string.h> 4 using namespace std; 5 6 int gcd(int a, int b) 7 { 8 return b == 0? a:gcd(b, a%b); 9 } 10 11 void swap(int &a, int &b) 12 { 13 int t = a; 14 a = b; 15 b = t; 16 } 17 18 int fun(int m, int n) 19 { 20 if(m < n) swap(m, n); 21 gcd(m, n); 22 if(!(18%gcd(m, n))) return 1; 23 return 0; 24 } 25 26 27 int main() 28 { 29 int m; 30 while(~scanf("%d", &m)) 31 { 32 if(fun(65, m)) 33 { 34 for(int i = 1;; i++) 35 { 36 if((i*65-18)%m == 0) 37 { 38 printf("%d\n", (i*65-18)/m); 39 break; 40 } 41 } 42 } 43 else printf("no\n"); 44 } 45 return 0;
思路2:
题意:给出k。求使得f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x对任意x都为65的倍数的a的最小值。
mark:65=13*5。要使f(x)是65的倍数,只需要f(x)是5和13的倍数即可。先来分析13的。
若f(x)是13的倍数,
有5*x^13+13*x^5+k*a*x % 13 == 0,其中13*x^5项显然不用考虑。
则只需5*x^13 + k*a*x是13的倍数,即x*(5*x^12+k*a)是13的倍数。若x是13的倍数,不用考虑。
若x不是13的倍数,则x一定与13互素,因为EulerPhi(13) == 12,从而x^12 % 13 == 1。
所以可知5*x^12 % 13 == 5。
因为要让任意x满足条件,则括号内必为13的倍数,有k*a+5 % 13 == 0,则k*a % 13 == 8。
同理可得k*a % 5 == 2。
据此,若k为5或13的倍数,a一定无解,否则,一定有解。
根据k%5的结果,可能为1、2、3、4,a应分别取5n+2,5n+1,5n+4,5n+3。
枚举a的值,若符合13的条件,则为解。
费马小定理:
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 。
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5 int w[5]={0,2,1,4,3}; 6 int main() 7 { 8 int k,a; 9 while(~scanf("%d",&k)) 10 { 11 if(k%5==0||k%13==0) 12 cout<<"no"<<endl; 13 else 14 { 15 for(a=w[k%5];;a+=5) 16 { 17 if(k*a%13==8) 18 { 19 cout<<a<<endl; 20 break; 21 } 22 } 23 } 24 } 25 return 0; 26 }
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