B树的生成

B树的生成
flyfish 2015-7-19
从空树開始构建一棵B树 逐个插入keyword

规则：

除根结点之外的全部非终端结点至少有$\left \lceil m/2 \right \rceil$棵子树，所以keyword的个数必须 n为keyword个数
?m/2?-1$\leqslant$n。

依照A0，K1，A1。K2，A2，…，Kn，An
也就是指针个数比keyword个数多一个

由于树中每一个结点至多有m 棵子树。所以该结点的keyword个数不能超过m-1

也就是，keyword个数的阈值 $\left \lceil m/2 \right \rceil-1$$\leqslant n$$\leqslant m-1$

每次插入一个keyword不是在树中加入一个叶子结点，由于这样不再是有效的B树而是首先在最低层的某个非终端结点中加入一个keyword，若该结点的keyword个数不超过m-1，则插入完毕，否则要产生结点的“分裂”

绿色：keyword个数
红色：指针
蓝色：keyword
构建Degree为3keyword从1到7的B树

普通情况下，结点可例如以下实现分裂 引用自严蔚敏《数据结构》

如果*p结点中已有m-1个keyword。当插入一个keyword之后。结点中含有信息为：

（m。$A_0$，($K_1$。$A_1$)。…。($K_m$，$A_m$)

且当中 $K_i$<$K_i$$_+$$_1$ ， 1$\leqslant$i< m

此时可将*P节点分裂为*P和*P’两个结点,

*p结点中含有信息

$\left \lceil m/2 \right \rceil$-1。$A_0$，($K_1$，$A_1$)，…，($K_\left \lceil m/2 \right \rceil$$_-$$_1$。$A_\left \lceil m/2 \right \rceil$$_-$$_1$)

*p’结点中含有信息

m-$\left \lceil m/2 \right \rceil$，$A_\left \lceil m/2 \right \rceil$。($K_\left \lceil m/2 \right \rceil$$_+$$_1$，$A_\left \lceil m/2 \right \rceil$$_+$$_1$ ),… ,($K_m$。$A_m$)

而keywordK$_\left \lceil m/2 \right \rceil$和指针*p’一起插入到*p的双亲结点中.

简化理解
m为B树的阶,n为节点的个数

若在一个包括$n <m-1$个keyword的结点中插入一个新的keyword，则把新的keyword直接插入该结点就可以。

但若把一个新的keyword插入到包括m-1个keyword的结点中，则将引起结点的分裂。

生成一新结点,把原结点上的keywordK按升序排序,也就是 $K_i$<$K_i$$_+$$_1$ 。
满足：左边的小于中间的keyword；右边的大于中间的keyword，从中间位置把keyword（不包括中间位置的keyword）分成两部分。

左部分所含keyword放在旧结点中。右部分所含keyword放在新结点中，中间位置的keyword连同新结点的存储位置（指向新节点的指针）插入到双亲结点中。

如果双亲结点的keyword个数也超过m-1，则要再分裂，再往上插入，此时B树可能朝着根的方向生长。