标签：const turn ons 实现 ret 如何 奇数 cst time
给定 $n = \prod_{k = 1} ^ m {p_k} ^ {q_k}$ .
求最小的 x , 使得 $\phi^x(n) = 1$ .
$1 \le p_k \le {10} ^ 5$ .
$1 \le q_k \le {10} ^ 9$ .
设 $$R(n) = \min_{\phi^x(n) = 1} x$$ .
我们观察 n 是如何通过 $\phi$ 变成 1 的.
即观察 $\phi(n)$ 的性质.
发现1:
当 $n = 2$ 时, $\phi(n) = 1$ .
当 $n > 2$ 时, $\phi(n)$ 为偶数.
发现2:
当 n 为偶数时, $\phi(n) \le \frac{n}{2}$ .
因为有质因数 2 , 而在 $\phi$ 的作用下, 2 会变成 1 , 所以至少少了一个 2 .
我们发现, 在 phi 的作用下, 奇数会变成偶数, 偶数每次会缩小一倍, 最后由 2 变成 1 .
$R(n) = O(\log n)$ .
我们需要更精确的结果.
设 $f(n)$ 表示 n 通过 $\phi$ 产生 2 的能力, 设 $n = 2 ^ k \times q$ .
$$f(n) = \left\{ \begin{aligned} & f(q) + k & , k = 0 \\ & f(\phi(n)) & , k > 0 \end{aligned} \right.$$ .
那么 $R(n) = f(n) + [ n 为奇数]$ .
观察 $f$ 的性质.
$f(p \times q) = f(p) + f(q)$ .
$f(p ^ k) = kf(p)$ .
所以 $f(\sum_{k = 0} ^ m {p_k} ^ {q_k}) = \sum_{k = 0} ^ m q_kf(p_k)$ .
求 f(1), f(2), ..., f(100000) 通过线性筛来实现.
或者也可以直接用定义.
#include <cstdio> #include <cctype> #define F(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++) #define LL long long const int N=100000; int v[N+5]; int pri[N+5],tot; LL prod[N+5]; inline int rd(void) { int x=0,f=1; char c=getchar(); for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c==‘-‘) f=-1; for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘; return x*f; } int main(void) { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("sdchr.in","r",stdin); freopen("sdchr.out","w",stdout); #endif v[1]=1; prod[1]=1; F(i,2,N) { if (!v[i]) { pri[++tot]=i; prod[i]=prod[i-1]; } F(j,1,tot) { if (i*pri[j]>N) break; v[i*pri[j]]=1; prod[i*pri[j]]=prod[i]+prod[pri[j]]; if (i%pri[j]==0) break; } } int nT=rd(); F(c,1,nT) { int n=rd(); LL ans=0; int odd=1; F(i,1,n) { int p=rd(),q=rd(); ans+=1LL*prod[p]*q; if (p==2) odd=0; } ans+=odd; printf("%lld\n",ans); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7286084.html
