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【Luogu】P3455Zip-Queries(莫比乌斯反演)

时间:2017-12-08 12:12:18      阅读:121      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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  题目链接

  真是神TM莫比乌斯

  首先来看一个神奇的结论:求gcd(x,y)==k的对数,其中1<=x<=n,1<=y<=m

  等同于求gcd(x,y)==1的对数,其中1<=x<=n/k,1<=y<=m/k

  然后这题就变成了求gcd(x,y)==1的对数,其中1<=x<=n/k,1<=y<=m/k

  我们再把莫比乌斯反演的定义copy一下

  设有函数$F(n),f(n)$定义在非负整数集合上

  有$F(n)=\sum\limits_{d|n}^{}f(d)$

  那么则有$f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}miu(d)F(\frac{n}{d})$

  或者说如果有$F(n)=\sum\limits_{n|d}^{}f(d)$

  那么$f(n)=\sum\limits_{n|d}^{}miu(\frac{d}{n})F(d)$

  miu函数定义如下:

  若d=1,miu(d)=1;

  若d=$P_{1}P_{2}.......P_{n}$,则miu(d)=$(-1)^{k}$;

  其他情况下miu(d)=0.

  我们这道题使用第二种形态。

  我们设F(n)为gcd(x,y)==t的公倍数的x,y对数,f(n)为gcd(x,y)==t的x,y对数。

  则有$F(n)=\sum\limits_{n|d}^{}f(d)$

  根据莫比乌斯反演得到$f(n)=\sum\limits_{n|d}^{}miu(\frac{d}{n})F(d)$

  $F(d)=\frac{n}{d}\frac{m}{d}$显然

  且本题中我们要求的是f(1)

  那么原式化为$f(1)=\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}miu(i)\frac{n}{i}\frac{m}{i}$

  那么本题我们做完了吗?答案明显是否定的。

  因为你直接for一遍i会超时。

  观察到for i in 1~n 有一段区间使得n/i的取值是相同的

  而且这个取值最多只有$\sqrt[]{n}$种

  所以应用数论的分块优化

  贴上代码

  

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch==-)    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-0;
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

long long miu[500050];
long long prime[500050],tot;
bool f[600600];

long long count(long long n,long long m){
    long long top=min(n,m);long long ans=0;
    long long x=1;
    while(x<=top){
        long long y=min(n/(n/x),m/(m/x));
        ans+=(long long)(miu[y]-miu[x-1])*(n/x)*(m/x);
        x=y+1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    miu[1]=1;
    for(long long i=2;i<=60000;++i){
        if(!f[i]){
            prime[++tot]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(long long j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=60000;++j){
            f[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])    miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            else    break;
        }
    }
    for(long long i=1;i<=60000;++i)    miu[i]+=miu[i-1];
    long long T=read();
    while(T--){
        long long n=read(),m=read(),e=read();
        n/=e;m/=e;
        if(n>m)    swap(n,m);
        printf("%lld\n",count(n,m));
    }
    return 0;
}

 

【Luogu】P3455Zip-Queries(莫比乌斯反演)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/cellular-automaton/p/8004214.html

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