码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

bzoj 4008 亚瑟王 - 动态规划 - 概率与期望

时间:2017-12-16 23:16:57      阅读:191      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:.com   das   lin   mes   oid   inline   output   排列   2.3   

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂
亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非
洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已
经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一
下当欧洲人是怎样的体验。 
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后
将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对
敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因
素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 
一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次
考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
2.1将其以 pi的概率发动技能。 
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,
考虑下一张卡牌。 
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。 

接下来一共 T 组数据。 
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和
游戏的轮数。 
接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第
i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动
造成的伤害(整数)。保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

Output

 对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过
10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
建议输出10 位小数。 

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

 

 一共有 13 种可能的情况: 


1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.15,伤害为5。 

2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.315,伤害为3。 

3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.035,伤害为2。 

4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.075,伤害为5。 

5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.0675,伤害为4。 

6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.0075,伤害为3。 

7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.1575,伤害为3。 

8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.04725,伤害为4。 

9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.11025,伤害为1。 

10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.0175,伤害为2。 

11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.00525,伤害为3。 

12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.011025,伤害为1。 

13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 

概率为 0.001225,伤害为0。 

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。 

 

对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  

除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 

请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

  题目大意 有n张卡牌,进行r轮游戏,每一轮,从第1张卡牌开始考虑,第i张牌如果没有发动过,则有p[i]的概率对分数有d[i]的贡献,发动后立刻结束这轮游戏。问期望的分数。

  有注意到每张卡牌发动的概率之和它之前的牌有关。

  考虑用f[i][j]表示当第i张牌得到j次发动机会的概率。

  根据dp的某些神奇的性质,只需要考虑第i张卡牌和第(i - 1)张卡牌就可以了(因为这样做的话,f[i - 1]包含了第(i - 2)张卡牌的相关信息,大概感觉有点像递归定义。。)

  1.第(i - 1)张卡牌在j次机会中1次都没有发动

    显然它的概率为技术分享图片

  2.第(i - 1)张卡牌在(j + 1)次机会中发动了1次

    可以求对立事件的概率,然后拿1去减它,于是得到了它的概率为技术分享图片

    不能理解?那我们换个方法,考虑在第i次机会发动,然后求和:

技术分享图片

    然后用等比数列求和公式:

技术分享图片

    化简得到:技术分享图片

  于是转移转移就好了。

Code

 1 /**
 2  * bzoj
 3  * Problem#4008
 4  * Accepted
 5  * Time: 848ms
 6  * Memory: 1764k
 7  */
 8 #include <bits/stdc++.h>
 9 using namespace std;
10 
11 const int N = 225, R = 135;
12 
13 int T;
14 int n, r;
15 int W[N];
16 double P[N];
17 double prP[N][R];
18 double f[N][R];
19 
20 inline void prepare() {
21     for(int i = 0; i < N; i++)
22         prP[i][0] = 1;
23     for(int i = 1; i < R; i++)
24         prP[0][i] = 1;
25 }
26 
27 inline void init() {
28     scanf("%d%d", &n, &r);
29     for(int i = 1; i <= n; i++)
30         scanf("%lf%d", P + i, W + i);
31     for(int i = 1; i <= n; i++)
32         for(int j = 1; j <= r; j++)
33             prP[i][j] = prP[i][j - 1] * (1 - P[i]);//, cerr << prP[i][j] << endl;
34 }
35 
36 inline void solve() {
37     memset(f, 0, sizeof(f));
38     f[0][r] = 1;
39     double ans = 0.0;
40     for(int i = 1; i <= n; i++)
41         for(int j = 1; j <= r; j++) {
42             f[i][j] = f[i - 1][j] * prP[i - 1][j] + f[i - 1][j + 1] * (1 - prP[i - 1][j + 1]);
43             ans += f[i][j] * (1 - prP[i][j]) * W[i];
44         }
45     printf("%.10lf\n", ans);
46 }
47 
48 int main() {
49     prepare();
50     scanf("%d", &T);
51     while(T--) {
52         init();
53         solve();
54     }
55     return 0;
56 }

bzoj 4008 亚瑟王 - 动态规划 - 概率与期望

标签:.com   das   lin   mes   oid   inline   output   排列   2.3   

原文地址:http://www.cnblogs.com/yyf0309/p/8047769.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
0条  
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有 京ICP备13008772号-2
迷上了代码!