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数学-线性代数导论-#11 基于矩阵A生成的空间:列空间、行空间、零空间、左零空间

时间:2018-02-11 19:58:16      阅读:213      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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线性代数导论-#11 基于矩阵A生成的空间:列空间、行空间、零空间、左零空间

 

本节课介绍和进一步总结了如何求出基于一个m*n矩阵A生成的四种常见空间的维数和基:

  • 列空间C(A),dim C(A) = r,基 = { U中主元列对应的原列向量 };
  • 行空间C(AT), dim C(AT) = r,基 = { U中的主元行 }:

1.为什么行空间不表示为R(A)而表示为C(AT)?

因为转置是矩阵的行与列之间的桥梁。

既然我们已经研究过列空间,通过转置,我们可以将行空间视为转置矩阵的列空间。

2.行空间与列空间之间有什么联系?

因为主元在转置过程中数目不会发生变化,所以行空间和列空间的维数是相同的。

请思考:如何证明下图中Prof. Strang右侧的三个向量线性相关?

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3.为什么行空间的基可以直接取消元结果U中的主元行?

消元的过程中所进行的“行变换”,实质上是对各行的多次线性组合。

#10中我们已经学到,同一空间的两个不同的基A、B联系就是:B(或A)可以视为A(或B)的线性组合。

相反地,列空间会随着消元发生变化,列空间的基不能够直接取主元列。

 

  • 零空间N(A),dim N(A) = n-r,基 = { Ax=0的n-r个特解 };
  • 左零空间N(AT),dim N(AT) = m-r,基 = { EA=U中的E的倒数m-r行 }:

     1.为什么N(AT)叫“左零”空间?它与零空间有什么联系?

      其实零空间也可以叫“右零”空间。

      因为零空间是基于Ax=0的特解生成的,而左零空间是基于xA=0的特解生成的。

      换言之,零空间包含对列重组得到零向量的系数向量。左零空间包含对行重组得到零向量的系数向量。

     2.为什么左零空间的基这样求?

      这其实是一种特殊的技巧,利用了消元结果U中含有m-r个零行且零行位于底部的特征。

 

为了进一步理解这四种空间生成的本质、联系与区别,在复杂情景下进行分析,请尝试解出下面这题:

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数学-线性代数导论-#11 基于矩阵A生成的空间:列空间、行空间、零空间、左零空间

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原文地址:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8442651.html

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