【递归与递推】青蛙过河

题目描述

有一条河，左边一个石墩(A区)上有编号为1，2，3，4，…，n的n只青蛙，河中有k个荷叶(C区)，还有h个石墩(D区)，右边有一个石墩(B区)，如下图2—5所示。n只青蛙要过河(从左岸石墩A到右岸石墩B)，规则为：

(1)石墩上可以承受任意多只青蛙，荷叶只能承受一只青蛙(不论大小)；
(2)青蛙可以：A→B(表示可以从A跳到B，下同)，A→C，A→D，C→B，D→B，D→C，C→D；
(3)当一个石墩上有多只青蛙时，则上面的青蛙只能跳到比它大1号的青蛙上面。

你的任务是对于给出的h，k，计算并输出最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河?

输入

输出

样例输入

2 3

样例输出

16

思路：递推（dp）

首先，青蛙只能往前跳，不能往后跳，而且只能12345这样排下去，所以要想使最多的青蛙到达对岸，只需使编号最大的青蛙首先跳到对岸（否则编号更大的青蛙就跳不过去了）。

然后，要想使编号最大的青蛙首先跳到对岸，只需让河面上承载最多的青蛙。而荷叶上只能承载一只青蛙，所以需要让青蛙尽可能多地叠到石墩上。

接下来便是核心内容：(f[i]表示当有k个荷叶，i个石墩时过河青蛙的最大数量)

1、若有k个荷叶，没有石墩，则最多有k+1个青蛙。所以f[0]=k+1（不需要解释了吧）；

2、若有k个荷叶，1个石墩，则只需要使石墩上承载最多的青蛙。进一步分析，我们只需要将石墩当做对岸，这样就变成1的情况了。所以f[1]=f[0]+k+1；

3、若有k个荷叶，2个石墩，则需要先让石墩1作为对岸，叠完后再让石墩2作为对岸。所以f[2]=f[1]+f[0]+k+1；

继续往下推理，得到状态转移方程：f[h]=f[0]+f[1]+f[2]+……+f[h-1]+k+1;

代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 int n,m,sum;
 5 int a[10000];
 6 int main()
 7 {
 8     scanf("%d%d",&n,&m);
 9     a[0]=m+1;
10     sum=a[0];
11     for(int i=1;i<=n;i++)
12     {
13         a[i]=sum;
14         sum+=a[i];
15     }
16     cout << sum << endl;
17     return 0;
18 }

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