Day2 多元线性回归

多元线性回归Linear Regression with multiple variables

　　当有一个特征输入时，h(x)函数可表示为

　　当有多个特征输入时，h(x)函数可表示为

　　设x₀ = 1，则特征输入和参数可表示为：

　　h(x)函数就可表示为:

　　代价函数cost function：

多元线性回归中的梯度下降

特征缩放Feature Scaling

　　当输入的特征值处在一个很大的范围时，梯度下降算法会迭代很多步才能达到收敛，

　　为了让收敛速度加快，我们时每一个特征值处在相同的范围，如-1到1内。

　　这个范围不应太大或太小，一般可取在-3到3。

均值归一化Mean Normalization

　　均值归一化就是用代替，使xi的均值接近于0.但x₀的值恒为1. 

学习速率α

　　为了确保梯度下降正常工作，可以作minJ(θ)关于迭代次数的函数图：

        随着迭代次数的增加，minJ(θ)的值减小到趋于稳定，就说明梯度下降收敛。

　　为了确保梯度下降正常工作，还可以用自动收敛测试，例如当minJ(θ)的值下降少于一个很小的值，如10^-3时，可认为收敛，但这个值的大小不好选定。

　　几种可能出现的图像情况：

 　　如果α的值过小，会收敛的很慢；

　　如果α的值过大，J的值可能在每一步迭代过程中不会减小，最终不会收敛。

　　为了选择合适的α，可以选择... 0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，0.3，1 ...

特征值的选择

　　在建立函数h(x)时，不一定要将所有的特征值原封不动的写进去，可以对其进行组合，

　　如：一个用于房价预测的函数

　　　　可令x=frontage*depth成为一个新的特征值，函数就变为

 标准方程法Normal equation

　　通过标准方程法可以通过一次计算得到θ值，而不需要像梯度下降那样做多次迭代，也不需要feature scaling。

　　公式： 

　　梯度下降法与标准方程法比较：

 　　在运用标准方程法时可能会遇到X^TX不可逆的情况，原因如下：

　　　　有冗余的特征值，例如两个特征值线性相关，这是需要删除冗余的特征值；

　　　　特征值太多，当样本数m<=特征值数n时，就可能导致不可逆。例如m=10，n=100，那么θ为101维，用10个样本来适配101个θ值，显然是不合适的。这种情况下需要删除一些特征值或利用正规化(regularization)。