01背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间省不去时间
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>m>>n;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反
{
for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包 @
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解，一层一层的
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}

解释@：

我们知道f[v]是由两个状态得来的，f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，使用一维数组时，当第i次循环之前时，f[v]实际上就是f[i-1][v]，得到第二个子问题

状态转移方程为：

我们可以与二维数组的状态转移方程对比一下

正如我们上面所说，f[v-c[i]]就相当于原来f[i-1][v-c[i]]的状态。如果将v的循环顺序由逆序改为顺序的话，就不是01背包了，就变成完全背包了，这个后面说。这里举一个例子理解为何顺序就不是01背包了

假设有物体z容量2，价值vz很大，背包容量为5，如果v的循环顺序不是逆序，那么外层循环跑到物体z时，内循环在v=2时，物体z被放入背包，当v=4时，寻求最大价值，物体z放入背包，f[4]=max{f[4],f[2]+vz}，这里毫无疑问后者最大，那么此时f[2]+vz中的f[2]已经装入了一次物体z，这样一来该物体被装入背包两次了就，不符合要求，如果逆序循环v，这一问题便解决了。