LeetCode 53. Maximum Subarray

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LeetCode 53. Maximum Subarray

题目解析

求最大子数组。

解题思路

基本题，有多种方法可以得到答案，这里简单讨论一下。

暴力

双重循环遍历子数组起点和终点，再加一重循环计算和，时间复杂度为 \(O(n^3)\)，代码就不写了，不可能会用得上的：）

改进

暴力的问题是重复计算，稍微改进一下，将第二层循环去掉，利用变量temp代表从当前数字开始到数组末端的最大子数组，只需要两层循环就够了，时间复杂度为 \(O(n^2)\)。

最佳解法

最大子数组问题的最佳解法是 \(O(n)\)。

定义两个变量res和temp，其中res为当前最大子数组结果；temp初始值为0，每遍历一个数字num，如果此时temp大于0，这加上num使和更大，否则，令temp=num，表示原来的temp没有对结果做出贡献，抛弃才能使得和更大。当然，这个判断也可以简化成max(temp+num, num)。

深入思考，这其实是DP的思想，不过是简单的DP，而且将dp数组优化成一个变量temp了。可参考DP solution & some thoughts。参考代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int res = INT_MIN, temp = 0;
        int len = nums.size();
        for(int i = 0; i < len; i++)
        {
            if(temp > 0) temp += nums[i];
            else temp = nums[i];
            
            if(temp > res) res = temp;
        }
        return res;
    }
};

分治解法

题目要求说试一试分治写法，很有趣。

简单来讲就是每次见数组一分为二，比较（左边的最大子数组之和、右边的最大子数组之和、中间向左右两边扫描的最大子数组之和）三者得到答案。思路比较清晰，写起来也很快。

时间复杂度为：\(O(nlogn)\)。参考代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty()) return 0;
        return maxSub(nums, 0, (int)nums.size() - 1);
    }
    int maxSub(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left >= right) return nums[left];
        
        int mid = (right + left) / 2;
        int lmax = maxSub(nums, left, mid - 1);//Left
        int rmax = maxSub(nums, mid + 1, right);//Right
        
        int mmax = nums[mid], t = mmax;
        for (int i = mid - 1; i >= left; --i) {
            t += nums[i];
            mmax = max(mmax, t);
        }
        t = mmax;
        for (int i = mid + 1; i <= right; ++i) {
            t += nums[i];
            mmax = max(mmax, t);
        }
        return max(mmax, max(lmax, rmax));//三者取最大值
    }
};

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