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以前一直不懂LCS问题，然而找工作被LCS折磨的，与那个公司无缘了。
最长公共子序列问题是一道经典的动态规划问题，最长公共子序列问题也有最优子结构。
即：Xi<x1, x2,..., xi>即X序列的前i个字符(1<=i<=m)，Yj<y1, y2,..., yj)即Y序列的前j个序列(1<=j<=n);假设Z<z1,z2,...,Zk>属于LCS(X,Y);
若：xm==yn(最后一个字符相同),则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
若：xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。
由上述可以得出递归公式：
#include <iostream> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; enum decreaseDir {kInit = 0, kLeft, kUp, kLeftUp}; string ret; void LCS_Print(vector<vector<int> > &dir, const char *str1, const char *str2, int row, int col) { if(str1 == NULL || str2 == NULL) return; int len1 = strlen(str1); int len2 = strlen(str2); if(len1 == 0 || len2 == 0 || !(row < len1 && col < len2 )) return; if(dir[row][col] == kLeftUp) { if(row > 0 && col > 0) LCS_Print(dir, str1, str2, row - 1, col -1); ret.push_back(str1[row]); } else if(dir[row][col] == kUp) { if(row > 0) LCS_Print(dir, str1, str2, row - 1, col); } else if(dir[row][col] == kLeft) { if(col > 0) LCS_Print(dir, str1, str2, row, col -1); } } int LCS(const char *str1, const char *str2) { if(!str1 || !str2) return 0; int len1 = strlen(str1); int len2 = strlen(str2); if(!len1 || !len2) return 0; int i, j; vector<vector<int> > dp(len1, vector<int>(len2, 0)); vector<vector<int> > dir(len1, vector<int>(len2, 0)); for(int i = 0; i < len1; i++) { for(int j = 0; j < len2; j++) { if(i == 0 || j == 0) { if(str1[i] == str2[j]) { dp[i][j] = 1; dir[i][j] = kLeftUp; } else { if(i > 0) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; dir[i][j] = kUp; } if(j > 0) { dp[i][j] = dp[i][j-1]; dir[i][j] = kLeft; } } } else if(str1[i] == str2[j]) { dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; dir[i][j] = kLeftUp; } else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1]) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; dir[i][j] = kUp; } else { dp[i][j] = dp[i][j-1]; dir[i][j] = kLeft; } } } LCS_Print(dir, str1, str2, len1 - 1, len2 - 1); return dp[len1-1][len2-1]; } int main() { const char *str1 = "abcde"; const char *str2 = "acde"; ret.clear(); int longest = LCS(str1, str2); cout << "longest = " << longest << endl; cout << "ret = " << ret << endl; return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/awy-blog/p/3987607.html
