群论 - Group Theory

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群的定义

若非空集合\(G\)和定义在\(G\)上的二元运算\(?\)构成的代数结构\((G,?)\)，满足：

• 封闭性：\(\forall a,b\in G\)，有\(a?b\in G\)。
• 结合律：\(\forall a,b,c\in G\)，有\((a?b)?c=a?(b?c)\)。
• 单位元：\(\exists e\in G\)，满足\(\forall a\in G\)有\(a?e=a\)。
• 逆元：\(\forall a\in G\)，\(\exists b\in G\)使得\(a?b=e\)，记\(a^{-1}=b\)。

则代数结构\((G,?)\)是一个群（group）。
常见的群有：整数、有理理数、实数加法群；模\(n\)意义下的加法群；模\(n\)意义下与\(n\)互质的数构成的乘法群；置换群，群的元素是一个双射\(f\)，运算为映射的复合。

拉格朗日定理

对于群\((G,?)\)，若有\(G'\subset G\)且\((G',?)\)也是群，则称\((G',?)\)是\((G,?)\)的子群，且\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

证明：
记\(G_a\)表示集合\(G\)的陪集\(\{x?a|x\in G\}\)，那么易知\(|G_a|=|G|\)。
对于\(a,b\in G\)，若有\(G'_a\cap G'_b \neq \emptyset\)，则\(\exists x,y\in G'\)满足\(x?a=y?b ? a=x^{-1}?y?b\)。
那么\(\forall z\in G'\)，有\(z?a=z?(x^{-1}?y?b)=(z?x^{-1}?y)?b\)。易知\(z?x^{-1}?y \in G'\)，所以\(G'_a\)中的每一个元素都存在于\(G'_b\)中，即\(G'_a=G'_b\)。
于是可知\(G'\)的陪集之间只有两种关系，互不相交或完全相同。而由于\(e\in G'\)，所以\(G'\)的所有陪集的并就是\(G\)。又由于陪集的大小等于原集合，所以\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。

由拉格朗日定理可以推出欧拉定理\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。

证明：
设集合\(S=\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\)，其中\(gcd(a_i,n)=1\)。\(S\)与模乘法形成的代数结构\((S,\times)\)是群。
那么设\(S_i=\{1,a_i,a_i^2,a_i^3...\}\)，易知\((S_i,\times)\)是\((S,\times)\)的子群，即\(|S_i||\varphi(n)\)。而\(a_i^{|S_i|}\equiv 1\)，所以\(a_i^{\varphi(n)}\equiv 1\)。

つづく...

群论 - Group Theory

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原文地址：https://www.cnblogs.com/VisJiao/p/9002230.html