标签：air std printf getc pre type 描述 return cas
在平面上找 \(n\) 个点，要求这 \(n\) 个点离原点的距离分别是 \(r_1,r_2,\ldots,r_n\)，最大化这 \(n\) 个点构成的土包的面积。这些点的顺序任意。
\(n\leq 8\)
先枚举凸包上的点和顺序。
不妨设 \(r_{n+1}=r_1\)
面积为：\(\frac{1}{2}(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n)\)
那么问题就是最大化 \(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n\)，条件是 \(\theta_1+\theta_2+\cdots \theta_n=2\pi\)
应用拉格朗日乘数法，有：
\[
\begin{cases}
r_1r_2\cos\theta_1=r_2r_3\cos\theta_2=\cdots=r_nr_{n+1}\cos\theta_n&=\lambda\\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n&=2\pi
\end{cases}
\]
观察到 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\) 关于 \(\lambda\)单调，所以可以二分 \(\lambda\) 算出 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
void put(int x)
{
if(!x)
{
putchar('0');
return;
}
static int c[20];
int t=0;
while(x)
{
c[++t]=x%10;
x/=10;
}
while(t)
putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int n;
const double eps=1e-9;
const double pi=acos(-1);
int a[10];
double ans=0;
auto gao=[](double x){return x<0?x+2*pi:x;};
auto calc=[](double x){double s=0;for(int i=1;i<=n;i++)s+=gao(acos(x/a[i]/a[i+1]));return s;};
void getans()
{
sort(a+1,a+n+1);
a[n+1]=a[1];
do
{
double s=0;
double l=0,r=1e6;
for(int i=1;i<=n;i++)
r=min(r,(double)a[i]*a[i+1]);
l=-r;
if(calc(l)<2*pi||calc(r)>2*pi)
continue;
while(r-l>1e-5)
{
double mid=(l+r)/2;
if(calc(mid)<2*pi)
r=mid;
else
l=mid;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
s+=a[i]*a[i+1]*sin(acos(l/a[i]/a[i+1]));
ans=max(ans,s);
}
while(next_permutation(a+2,a+n+1));
}
int r[10];
int main()
{
open("b");
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&r[i]);
if(n<=2)
{
printf("0\n");
return 0;
}
for(int i=1;i<1<<n;i++)
{
::n=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if((i>>(j-1))&1)
a[++::n]=r[j];
if(::n>=3)
getans();
}
printf("%.10lf\n",ans/2);
return 0;
}标签：air std printf getc pre type 描述 return cas
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