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Binary Indexed Tree (Fenwick Tree)

时间:2018-05-27 17:18:52      阅读:182      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:相加   假设   color   nbsp   should   for   date   更新   dex   

Binary Indexed Tree 空间复杂度O(N),查询时间复杂度O(lgN). 其中每个元素,存储的是数组中一段(注意起始元素看作1而非0)的和:

假设这个元素下标为i找到i的最低位1从最低位1开始的低部表示的是长度,去除最低位1剩下的部分加上1表示的是起始位置,例如:

8二进制表示为100

最低位1也是最高位,1开始的低部也即100本身,因此长度为8.

去除1以后,剩下为0,加上1以后为1。所以sum[8]表示的是从第1个元素开始的8个元素的和.

又比如11的二进制表示为1011

最低位1,因此表示的段长度为1

去掉1以后剩下部分为1010,因此起始元素为第11个元素。所以sum[11]表示的就是原数组的第11个元素。

 

i的最低位1(LSB)可以使用如下位运算:

i & (-i)

 

1..i之和,以11为例

sum[11] = sum[8] + sum[10] + sum[11] 也即 0..8之和 + 9, 10之和 + 11。我们可以从最低位开始相加:

    int sum = 0;
    while (i > 0) 
        sum += A[i], i -= LSB(i);
    return sum;

 

更新i的值,需要更新所有受影响的和,sum[i]开始,逐渐扩大i的范围

    while (i < SIZE) 

        A[i] += k, i += LSB(i);

比如元素5被更新了,5表示为2进制是101,

那么我们首先更新元素5本身,

然后,5所在的2个元素的小区间:5,6也需要被更新也即 5 + LSB(5) = 6 被更新。

然后,更新5所在的更大的区间,1..8,也即: 6 + LSB(6) = 8。注意,并不存在5..8这样一个单独的4元素区间。每个区间的后半部分可以用这个区间减去前半部分得到:sum 5..8 = sum[8] – sum[4]

上述代码来自Wiki

 

最后,求任意区间i..j的值可以由sum[j] – sum[i]得到。

LeetCode 307. Range Sum Query – Mutable为例,以下为源码:

 

class NumArray{
public:
    // Binary Index Tree (Fenwick Tree)
    NumArray(vector<int> nums) {
        _nums = vector<int>(nums.size(), 0);
        sums = vector<int>(nums.size() + 1, 0);
        len = sums.size();
        for(int i = 0; i < len - 1; i++){
            update(i, nums[i]);
        }
    }
    
    void update(int i, int val) {
        int d = val - _nums[i];
        _nums[i++] = val;
        while(i < len){
            sums[i] += d;
            i += LBS(i);
        }
    }
    
    // [i+1, j+1] inclusive, so it should be sum[j+1] - sum[i]
    int sumRange(int i, int j) {
        return sumRange(++j) - sumRange(i);
    }
private:
    vector<int> sums;
    vector<int> _nums;
    int len;
    inline int LBS(int &i){
        return i & (-i);
    }
    
    inline int sumRange(int i){
        int sum = 0;
        while(i){
            sum += sums[i];
            i -= LBS(i);
        }
        return sum;
    }
};

 

Binary Indexed Tree (Fenwick Tree)

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原文地址:https://www.cnblogs.com/k330/p/Binary_Indexed_Tree_aka_Fenwick_Tree.html

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