P2261 [CQOI2007]余数求和

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题目背景

数学题，无背景

题目描述

给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

输入输出格式

输入格式：

两个整数n k

输出格式：

答案

输入输出样例

10 5

29

说明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

Solution:

　　本题$zyys$的数论分块。

　　类似于$Ahoi$约数研究的思路。

　　首先，对取模式子化简得：$k\;mod\;i=k-i\times\lfloor{k/i}\rfloor$。

　　所以最后的$ans=\sum\limits_{i=1}^{n}{(k-i\times\lfloor{k/i}\rfloor)}=n\times k-\sum\limits_{i=1}^{n}{i\times\lfloor{k/i}\rfloor}$

　　对于$i\times\lfloor{k/i}\rfloor$中，$\lfloor{k/i}\rfloor$有许多是相同的，假设$x=\lfloor{k/i}\rfloor$（$i$为第一次出现$x$值的下标），则$i_{max}=\lfloor{k/x}\rfloor$，从$i$到$i_{max}$共有$i_{max}-i+1$个$x$。

　　注意到$i\times\lfloor{k/i}\rfloor$中还有系数$i$，而$i$到$i_{max}$是递增的（每次加$1$），所以是一个公差为$x$的等差序列，直接套上等差数列求和公式即可。

　　因为$i\leq n$且$\lfloor{k/i}\rfloor$可能为$0$，所以记得判断边界。

　　由于$\lfloor{k/i}\rfloor$的值最多有$2\times\sqrt{n}$个，所以时间复杂度为$O(\sqrt{n})$。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 5 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 6 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 7 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 8 using namespace std;
 9 ll ans=0,n,k;
10 
11 int main(){
12     ios::sync_with_stdio(0);
13     cin>>n>>k;
14     int p;
15     ans=n*k;
16     for(ll i=1;i<=n;i=p+1){
17         p=(k/i?Min(k/(k/i),n):n);
18         ans-=(k/i)*(i+p)*(p-i+1)/2;
19     }
20     cout<<ans;
21     return 0;
22 }

P2261 [CQOI2007]余数求和

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原文地址：https://www.cnblogs.com/five20/p/9199192.html