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论OI中各种玄学卡常

时间:2018-07-19 21:06:02      阅读:6537      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:oid   eof   简单的   堆栈   关联   htm   int   之间   因子   

当你在写程序的时候一般出现过这种无比悲剧的情况:

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你讨厌卡常?下面有二则小故事:

作为一个经常出题的人,其实很多时候出题时的画风是这样的:“我有一个绝妙的\(O(nlog^2n)\)的算法,我来出道题吧”“咦怎么只能跑 \(5w\) 啊,好咸鱼啊,我要让它能跑 \(10w\),嗯现在 \(10w\) 只要 \(0.3s\) 了,要不努把力跑个 \(20w\) 吧”然后就没有然后了..

开O2之后FFT会比不开快几倍?

  • 不开\(O2\)\(NTT\)\(FFT\)

  • \(O2\)\(FFT\)\(NTT\)快。。。。。

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我们作为\(OIer\),在\(OI\)中卡常数可以说是必备技巧。在此总结一下我所知卡常数的神奇手法:


什么是卡常数?

程序被卡常数,一般指程序虽然渐进复杂度可以接受,但是由于实现/算法本身的时间常数因子较大,使得无法在\(OI/ACM\)等算法竞赛规定的时限内运行结束。

卡常数被称为计算机算法竞赛之中最神奇的一类数字,主要特点集中于令人捉摸不透,有时候会让水平很高的选手迷之超时或者超空间。
普遍认为卡常数是埃及人\(Qa'a\)及后人发现的常数。也可认为是卡普雷卡尔(\(Kaprekar\))常数的别称。主要用于求解括号序列问题。

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\(Time\) \(is\) \(the\) \(most\) \(precious\) \(asset\) \(of\) \(all\) \(wealth.\) —— \(Deoflasdo\)

时间是一切财富中最宝贵的财富。 —— 德奥弗拉斯多

下面的内容不完全是卡常数,但可以优化程序。


读入优化

读入优化是卡常数最重要的一条!一般用于读入整数

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

输出优化不常用,但是当你认为你的程序慢的话,还是用上为好

inline void write(int x)
{
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}

函数优化

  • 在声明函数之前写上\(inline\),可以加快一下函数调用,但只能用于一些操作简单、调用频繁的函数。涉及递归,大号的循环等很复杂的函数,编译器会自动忽略\(inline\)

  • 尽量减少值传递,多用引用来传递参数。至于其中的原因,相信大家也很清楚,如果参数是int等语言自定义的类型可能能性能的影响还不是很大,但是如果参数是一个类的对象,那么其效率问题就不言而喻了。

  • 如果你在比赛中如果实在不能优化了还没把握通过的话,可以自己手写一下库函数(尤其是\(STL\)里的),因为没空氧气优化库函数常数会凭空增加很多。


定义优化

  • register

在定义变量前写上\(register\),用于把变量放到\(CPU\)寄存器中,适用于一些使用频繁的变量(比如循环变量),但寄存器空间有限,如果放得变量太多,多余变量就会被放到一般内存中。如果太太多,速度可能变慢。

那么快到什么境界?

register int a=0;
for(register int i=1;i<=999999999;i++)
a++;

int b=0;
for(int i=1;i<=999999999;i++)
b++;

优化:\(0.2826\) \(sec\)

不优化:\(1.944\) \(sec\)

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。。。。。

  • 局部与静态变量

很多人认为局部变量在使用到时才会在内存中分配储存单元,而静态变量在程序的一开始便存在于内存中,所以使用静态变量的效率应该比局部变量高,其实这是一个误区,使用局部变量的效率比使用静态变量要高。

这是因为局部变量是存在于堆栈中的,对其空间的分配仅仅是修改一次\(esp\)寄存器的内容即可(即使定义一组局部变量也是修改一次)。而局部变量存在于堆栈中最大的好处是,函数能重复使用内存,当一个函数调用完毕时,退出程序堆栈,内存空间被回收,当新的函数被调用时,局部变量又可以重新使用相同的地址。当一块数据被反复读写,其数据会留在\(CPU\)的一级缓存(\(Cache\))中,访问速度非常快。而静态变量却不存在于堆栈中。

可以说静态变量是低效的。

  • 初始化

推荐直接初始化

与直接初始化对应的是复制初始化,什么是直接初始化?什么又是复制初始化?举个简单的例子,

ClassTest ct1;
ClassTest ct2(ct1);  //直接初始化
ClassTest ct3 = ct1;  //复制初始化

那么直接初始化与复制初始化又有什么不同呢?直接初始化是直接以一个对象来构造另一个对象,如用\(ct1\)来构造\(ct2\),复制初始化是先构造一个对象,再把另一个对象值复制给这个对象,如先构造一个对象\(ct3\),再把\(ct1\)中的成员变量的值复制给\(ct3\),从这里,可以看出直接初始化的效率更高一点,而且使用直接初始化还是一个好处,就是对于不能进行复制操作的对象,如流对象,是不能使用赋值初始化的,只能进行直接初始化。

另外:在初始化\(Floyd\)或者其他类似的东西

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        gra[i][j]=inf
for(int i=1;i<=b;i++)
    gra[i][i]=0
 

是比

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(i==j) gra[i][j]=0;
        else gra[i][j]=inf
    }

快的(测试大约\(1\)\(2\)\(80\)%的时间)

原因后者每次都要判断

  • 其他

不要开\(bool\),所有\(bool\)改成\(char\)\(int\)是最快的(原因不明)。

尽量不用\(double\),能用\(char\)就别用\(string\)

对于一个值的重复运算,存入临时变量中。

如果你知道要处理的值是非负数的,使用无符号整数



循环优化

  • 循环展开

循环展开也许只是表面,在缓存和寄存器允许的情况下一条语句内大量的展开运算会刺激 \(CPU\) 并发(前提是你的 \(CPU\) 不是某 \(CPU\))...

减少了不直接有助于程序结果的操作的数量,例如循环索引计算和分支条件。
提供了一些方法,可以进一步变化代码,减少整个计算中关键路径上的操作数量。
用法(下面是一个将一个\(int\) 类型数组初始化为\(0\)的代码段):

void Init_Array(int *dest, int n)
{
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        dest[i] = 0;
}

而如果用循环展开的话,代码如下:

void Init_Array(int *dest, int n)
{
    int i;
    int limit = n - 3;
    for(i = 0; i < limit; i+= 4)//每次迭代处理4个元素
    {
        dest[i] = 0;
        dest[i + 1] = 0;
        dest[i + 2] = 0;
        dest[i + 3] = 0;
    }
    for(; i < n; i++)//将剩余未处理的元素再依次初始化
        dest[i] = 0;
}
  • 循环引发的讨论

请看下面的两段代码,
代码1:

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun1();
  fun2();
}

代码2:

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun1();
}
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun2();
}

注:这里的\(fun1()\)\(fun2()\)是没有关联的,即两段代码所产生的结果是一样的。

以代码的层面上来看,似乎是代码\(1\)的效率更高,因为毕竟代码\(1\)少了\(n\)次的自加运算和判断,毕竟自加运算和判断也是需要时间的。但是现实真的是这样吗?

这就要看\(fun1\)\(fun2\)这两个函数的规模(或复杂性)了,如果这多个函数的代码语句很少,则代码\(1\)的运行效率高一些,但是若\(fun1\)\(fun2\)的语句有很多,规模较大,则代码\(2\)的运行效率会比代码\(1\)显著高得多。可能你不明白这是为什么,要说是为什么这要由计算机的硬件说起。

由于\(CPU\)只能从内存在读取数据,而\(CPU\)的运算速度远远大于内存,所以为了提高程序的运行速度有效地利用\(CPU\)的能力,在内存与\(CPU\)之间有一个叫\(Cache\)的存储器,它的速度接近\(CPU\)。而\(Cache\)中的数据是从内存中加载而来的,这个过程需要访问内存,速度较慢。

这里先说说\(Cache\)的设计原理,就是时间局部性和空间局部性。时间局部性是指如果一个存储单元被访问,则可能该单元会很快被再次访问,这是因为程序存在着循环。空间局部性是指如果一个储存单元被访问,则该单元邻近的单元也可能很快被访问,这是因为程序中大部分指令是顺序存储、顺序执行的,数据也一般也是以向量、数组、树、表等形式簇聚在一起的。

看到这里你可能已经明白其中的原因了。没错,就是这样!如果\(fun1\)\(fun2\)的代码量很大,例如都大于\(Cache\)的容量,则在代码\(1\)中,就不能充分利用\(Cache\)了(由时间局部性和空间局部性可知),因为每循环一次,都要把\(Cache\)中的内容踢出,重新从内存中加载另一个函数的代码指令和数据,而代码2则更很好地利用了\(Cache\),利用两个循环语句,每个循环所用到的数据几乎都已加载到\(Cache\)中,每次循环都可从\(Cache\)中读写数据,访问内存较少,速度较快,理论上来说只需要完全踢出\(fun1\)的数据\(1\)次即可。

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取模优化

//设模数为 mod
inline int inc(int x,int v,int mod){x+=v;return x>=mod?x-mod:x;}//代替取模+
inline int dec(int x,int v,int mod){x-=v;return x<0?x+mod:x;}//代替取模-

前置自增

后置 \(++\)\(--\)需要保存临时变量以返回之前的值,在 \(STL\) 中非常慢。事实上,\(int\) 的后置 \(++\)\(--\)在实测中也比前置 \(++\)\(--\)\(0.5\) 倍左右.


选择结构优化

\(if()\) \(else\)语句比\(()?():()\)语句要慢,逗号运算符比分号运算符要快。

另外,在一个逻辑条件语句中常数项永远在左侧。


除法运算优化

无论是整数还是浮点数运算,除法都是一件运算速度很慢的指令,在计算机中实现除法是比较复杂的。所以要减少除法运算的次数,下面介绍一些简单方法来提高效率:

  • 通过数学的方法,把除法变为乘法运算,如if\((a > b/c)\),如果\(a\)\(b\)\(c\)都是正数,则可写成\(if(a*c > b)\)

  • 让编译器有优化的余地,如里你要做的运算是\(in\)t型的\(n/8\)的话,写成\((unsigned)n/8\)有利于编译器的优化。而要让编译器有优化的余地,则除数必须为常数,而这也可以用\(const\)修饰一个变量来达到目的。


位运算优化

内容比较多,但是对程序的优化很大,建议大家学一下。

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  • 乘以\(2\)运算
int mulTwo(int n){//计算n*2 
    return n << 1;
}
  • 除以\(2\)运算
int divTwo(int n){//负奇数的运算不可用
    return n >> 1;//除以2
}
  • 乘以\(2\)\(m\)次方
int mulTwoPower(int n,int m){//计算n*(2^m)
    return n << m;
}
  • 除以\(2\)\(m\)次方
int divTwoPower(int n,int m){//计算n/(2^m)
    return n >> m;
}
  • 判断一个数的奇偶性
boolean isOddNumber(int n){
    return (n & 1) == 1;
}
  • 取绝对值(某些机器上,效率比\(n>0\) \(?\) \(n:-n\) 高)
int abs(int n){
return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
/* n>>31 取得n的符号,若n为正数,n>>31等于0,若n为负数,n>>31等于-1
若n为正数 n^0=0,数不变,若n为负数有n^-1 需要计算n和-1的补码,然后进行异或运算,
结果n变号并且为n的绝对值减1,再减去-1就是绝对值 */
}
  • 取两个数的最大值(某些机器上,效率比\(a>b\) \(?\) \(a:b\)高)
int max(int a,int b){
    return b & ((a-b) >> 31) | a & (~(a-b) >> 31);
    /*如果a>=b,(a-b)>>31为0,否则为-1*/
}
  • 取两个数的最小值(某些机器上,效率比\(a>b\) \(?\) \(b:a\)高)
int min(int a,int b){
    return a & ((a-b) >> 31) | b & (~(a-b) >> 31);
    /*如果a>=b,(a-b)>>31为0,否则为-1*/
}
  • 判断符号是否相同
boolean isSameSign(int x, int y){ //有0的情况例外
    return (x ^ y) >= 0; // true 表示 x和y有相同的符号, false表示x,y有相反的符号。
}
  • 计算\(2\)\(n\)次方
int getFactorialofTwo(int n){//n > 0
    return 2 << (n-1);//2的n次方
}
  • 判断一个数是不是\(2\)的幂
boolean isFactorialofTwo(int n){
    return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false;
    /*如果是2的幂,n一定是100... n-1就是1111....
       所以做与运算结果为0*/
}
  • \(2\)\(n\)次方取余
int quyu(int m,int n){//n为2的次方
    return m & (n - 1);
    /*如果是2的幂,n一定是100... n-1就是1111....
     所以做与运算结果保留m在n范围的非0的位*/
}
  • 求两个整数的平均值
int getAverage(int x, int y){
        return (x + y) >> 1; 
}

定义常量优化

  • 在进行较大数字时,可以#define一下例如某道题中需要多次\(mod\):

\(mod=10^9+7\)

如果您将\(mod\)作为一个\(long\) \(long\) 或者是\(int\)变量来打,那么恭喜您\(TLE\)(\(3518ms\),时限\(3s\))

而如果把\(1000000007\)换成了#const int \(mod\) $1000000007 $

那么您的程序就是\(AC\)了(\(2398ms\),时限\(3s\))

那么#define在定义数组大小的时候是首选

\(const\)在运算(比如\(mod\))是首选


数组优化

    • \(C++\)里面\(STL\)自带的\(vector\)存取效率不高,在可能的情况下用指针数组代替会大幅提高性能。
  • 关于\(memset\)\(memcpy\)以及\(memmove\)

这几个函数效率都非常高,比循环的速度快很多

其实用法也很简单,比如原来是这样的

`for(int i=l;i<=r;++i) a[i]=0; for(int i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i]; for(int i=l;l<=r;++i) a[i]=b[i],b[i]=0;
我们可以优化成

memset(a+l,0,r-l+1<<2);
memcpy(a+l,b+l,r-l+1<<2);
memmove(a+l,b+l,r-l+1<<2);

注意,左移的位数和\(a\)\(b\)的类型有关,这里默认为\(int\)\(sizeof(int)=4\),所以就是左移\(2\)(乘\(4\)
如果不知道\(a\)\(b\)类型所占字节数,可以改成如下

memset(a+l,0,(r-l+1)*sizeof(a[0]));
memcpy(a+l,b+l,(r-l+1)*sizeof(a[0]));
memmove(a+l,b+l,(r-l+1)*sizeof(a[0]));

注意:

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  • \(register\)变量不能开太多,它本身也优化不了多少,再出点什么事情可就真\(GG\)了,暂时用不到的变量不要过早的初始化,它会存在你的缓存里,如果之后继续调用该变量,速度会较快但若在之后调用许多其他变量,则会将该变量清出你的缓存,之后再有对该变量的操作时,则会花费比从缓存中调用较长的时间调用该变量

  • 在遍历高维数组时,并在定义数组时将元素多的维度放在靠前的位置,将循环次数多的维度放在外层,可减少一定的运行时间。高维数组在内存中都是线性安放的,在C语言中,按照的是行优先顺序,就像上面提到的。当我们使用行优先顺序遍历数组时,恰好就是顺次访问内存数据,会非常有利于\(CPU\)高速缓存的工作

  • 循环变量开为形如\(register\) \(int\) \(i\)的形式,看上去是一个优化,但事实上,编译器并不傻,它会在汇编中给你搞成\(register\)。同样的,循环变量在自增/自减时,写为形如\(++i/--i\)的形式,它看上去也是对\(i++\)的一种优化,但在汇编中,它也相应的优化成的类似\(++i\)的操作.


例题:

  • CF86D

莫队,不卡常数非常难过。

  • BZOJ3815

正如题,一些程序进行常数优化后可以过

  • BZOJ3583

正解需要卡常数。


终于讲完了,如果你还想更更深入的学,推荐一本书:

《论程序底层优化的一些方法与技巧》

如果你了解并使用这些优化,那么你可以做到:

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送给大家一句话:

过早的优化是效率低下的根源,程序的优化是永无止境的。


本文参考文献:

https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E5%B8%B8%E6%95%B0/16211104?fr=aladdin

https://blog.csdn.net/a1351937368/article/details/78162078

https://www.cnblogs.com/ibilllee/p/7674633.html

https://www.cnblogs.com/xcysblog/p/8493750.html

https://www.zhihu.com/question/53107298

https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/70338662

https://blog.csdn.net/leader_one/article/details/78430083

https://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8262185

https://www.jb51.net/article/54792.htm

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论OI中各种玄学卡常

标签:oid   eof   简单的   堆栈   关联   htm   int   之间   因子   

原文地址:https://www.cnblogs.com/lyfoi/p/OI-kachang.html

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