LA 4080 (多源最短路径+边修改+最短路径树）

时间：2014-10-04 19:43:57 阅读：293 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=32266

题目大意：①先求任意两点间的最短路径累加和，其中不连通的边权为L ②删除任意一条边,求全局最短路径和的最大值。

解题思路：

首先说下多源最短路中，floyd和和优先队列优化的dijkstra的取舍。floyd比较好拍，dijkstra具有常数有势，以及灵活性（如求第二问的时候）。

本题最烦人的是枚举删除一条边，按照正常思维，要重新做n次dijkstra，复杂度已经到了可怕的(n*m^2*logn),那么是否有必要每次修改一条边的时候，全源重新做一次最短路呢？

答案是否定的。只要构建一颗最短路径树即可。

不要被名字唬住，其实就是一个二维数组，belong[边id][s点]，即初次做全源Dijkstra的时候，为每条边进行标记，标记内容为本次dij的s点。

注意这里的边指的是输入边id，不是图中的边（这题是无向图，输入边被add了两次）。

枚举删除边时，如果belong[边id][s点]=true,则说明这条边与这次的单源dij有关，必须重新dij。如果为false，则无关，值还是初次做dij的值。

标记belong的方法：在每次优先队列出队的时候，对出队点所在的入队前的边进行标记，具体方法是开一个p数组，每次Relax的时候，记录一下Relax的边即可。之后入队在取出，p数组就能立刻取出入队前的边了。

本题存在重边，不支持的重边的数据结构注意了，尤其是邻接表。推荐链式前向星。

另外两个问的结果都超过了int32。

#include "cstdio"
#include "queue"
#include "cstring"
using namespace std;
#define maxn 155
#define maxp 2005
#define inf 1<<28
#define LL long long
struct Edge
{
    int next,to,d,id;
}e[maxp*2];
struct status
{
    int d,p;
    status(int d,int p):d(d),p(p) {}
    bool operator < (const status &a) const {return d > a.d;}
};
int n,m,l,tol,head[maxn],d[maxn],p[maxn],dis[maxn][maxn];
LL ans1,ans2,w[maxn];
bool vis[maxn],belong[maxp][maxn],del[maxp];
void addedge(int u,int v,int c,int id)
{
    e[tol].id=id;
    e[tol].d=c;
    e[tol].to=v;
    e[tol].next=head[u];
    head[u]=tol++;
}
void dijkstra1(int s)
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=(i==s?0:inf);
    priority_queue<status> Q;
    Q.push(status(0,s));
    while(!Q.empty())
    {
        status tt=Q.top();Q.pop();
        int x=tt.p;
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=true;
        belong[p[x]][s]=true;
        for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(d[x]+e[i].d<d[v])
            {
                p[v]=e[i].id;
                d[v]=d[x]+e[i].d;
                Q.push(status(d[v],v));
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(d[i]==inf)
        {
            ans1+=l;
            w[s]+=l;
        }
        else
        {
            ans1+=d[i];
            w[s]+=d[i];
        }
    }
}
LL dijkstra2(int s)
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1; i<=n; i++) d[i]=(i==s?0:inf);
    priority_queue<status> Q;
    Q.push(status(0,s));
    while(!Q.empty())
    {
        status tt=Q.top();
        Q.pop();
        int x=tt.p;
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=true;
        for(int i=head[x]; i!=-1; i=e[i].next)
        {
            if(del[e[i].id]) continue; //标记为删除的边跳过
            int v=e[i].to;
            if(d[x]+e[i].d<d[v])
            {
                d[v]=d[x]+e[i].d;
                Q.push(status(d[v],v));
            }
        }
    }
    long long tt=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(d[i]==inf) tt+=l;
        else tt+=d[i];
    }
    return tt;
}
int main()
{
    int u,v,c;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&l)!=EOF)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(belong,false,sizeof(belong));
        memset(del,false,sizeof(del));
        memset(w,0,sizeof(w));
        tol=ans1=ans2=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
            addedge(u,v,c,i);
            addedge(v,u,c,i);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dijkstra1(i);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            LL tt=0;
            del[i]=true;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(belong[i][j]) tt+=dijkstra2(j);
                else tt+=w[j];
            del[i]=false;
            ans2=max(ans2,tt);
        }
        printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
    }
}