[TJOI2008] 彩灯

题目描述

Peter女朋友的生日快到了，他亲自设计了一组彩灯，想给女朋友一个惊喜。已知一组彩灯是由一排N个独立的灯泡构成的，并且有M个开关控制它们。从数学的角度看，这一排彩灯的任何一个彩灯只有亮与不亮两个状态，所以共有\(2^N\)个样式。由于技术上的问题，Peter设计的每个开关控制的彩灯没有什么规律，当一个开关被按下的时候，它会把所有它控制的彩灯改变状态（即亮变成不亮，不亮变成亮）。假如告诉你他设计的每个开关所控制的彩灯范围，你能否帮他计算出这些彩灯有多少种样式可以展示给他的女朋友？

注： 开始时所有彩灯都是不亮的状态。

输入输出格式

输入格式：

每组测试数据第一行为两个整数N和M，用空格隔开。紧接着是有M行，每行都是一个长度为N的字符串，表示一个开关控制彩灯的范围（N盏灯），如果第i个字母是大写字母’O’，则表示这个开关控制第i盏灯，如果第i个字母是大写字母’X’，则表示这个开关不控制此灯。

输出格式：

输出这些开关和彩灯可以变换出来的样式数目。由于这个值可能会很大，请求出它对于整数2008的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 3
OO
XO
OX

输出样例#1：
4

说明

可见样例中第一个开关控制了所有的彩灯，而后两个开关分别控制了第一个和第二个彩灯，这样我们可以只用后两个开关控制彩灯，可以变换出来所有的\(2^2\)个状态。

30%的数据中，N和M不超过15。

另外有40%的数据中，N和M有一个为50

100%的数据中，N和M不超过50。

Solution

线性基板子题

对于每一个开关,我们可以看成一个0/1串,初始是一个全部为0的串,要求经过这些开关的操作后,出现的不同的0/1串的个数

终点就是不同这两个字,这就决定了我们可以使用线性基来解决这道题

首先了解一下线性基的性质对于两个数字a,b,可以有0,a,b,a^b四种情况
把b换成a^b依然如此

即线性基内的元素是不重复的

那么我们就可以把这些0/1串换成10进制后丢到线性基里面去,然后统计线性基内元素个数
在这里稍微讲一下线性基的原理

线性基可以说是一种容器,并且对于每一位都有一个数,这个数一定保证自己所在的这一位为1
我们开一个数组记录线性基,对于每一个数x我们都对它的每一位从高到低进行一遍扫描,与线性基中这一位去匹配
如果线性基中这一位为空,我们就把x加入这一位中,然后就不用做下去了
如果线性基中这一位有值,我们就用x去xor这个数,表示消去这一位,知道出现第一种情况
这种方法就保证了线性基内元素的不重复性
除此之外,线性基还有三条最重要的性质

1. 线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值
2. 线性基是满足性质1的最小的集合
3. 线性基没有异或和为0的子集

对于第1,2条性质,不需要太多解释,在这里主要证明一下第三条性质

证明:假设有\(a_1\bigoplus a_2\bigoplus ... \bigoplus a_n=0\),那么\(a_1\)一定可以由\(a_2\bigoplus ... \bigoplus a_n\)表示,那么我们把\(a1\)从线性基中删除依然可以异或除原来可以异或的元素,并且比原来的元素个数还要少,这样原来的线性基就与第二条性质最小集合相违背,所以假设不成立

下面是线性基构造代码

void init (lol box) {
    for(int i=50;i>=0;i--) {
        if(!(box>>i&1)) continue; 
        if(!arr[i]) {++cnt,arr[i]=box;break;}
        else box^=arr[i]; 
    } 
}

我们知道,线性基内的元素都是由外界元素异或出来的,那么对于线性基内每个元素,我们都有选/不选两种情况,所以\(Ans=1<<cnt\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define lol long long
using namespace std;
const int N=51,mod=2008;
int cnt;
lol arr[N];
void init (lol box) {
    for(int i=50;i>=0;i--) {
        if(!(box>>i&1)) continue; 
        if(!arr[i]) {++cnt,arr[i]=box;break;}
        else box^=arr[i];
    }
}
int main()
{
    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        char s[N]; scanf("%s",s);
        int len=strlen(s); lol x=0;
        for(int i=0;i<len;i++) x+=(1ll<<(n-i))*(s[i]=='O');
        init(x);
    }
    printf("%lld\n",1ll<<cnt);
    return 0;
}

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