标签：spl private 百度 ted set container .com ios keep
逆元：
如果满足公式，则有a 是 b的逆元同时b也是a的逆元。
逆元的应用：
设c为b在对m取余的意义下的逆元；
在求解公式 (a / b) % m的时候，如果b可能会非常的大，所以会出现爆精度的问题，这个时候就需要将除法转换成乘法来做，即：
(a / b ) % m = (a * c)%m。
逆元的求法：
一、扩展欧几里得求逆元
复杂度：O(logn)（实际就是斐波那契数列）
将公式（b、p已知） a?b≡1(mod p) 转换为 a?b+k?p=1 则有a为b对p取余意义下的逆元，且只有当a与p互质是逆元才存在。
注意：只要存在逆元就可以求，适用于逆元个数不多，但是mod很大的时候。
附一个百度百科的例子加深一下理解：
?
代码：
/* Time:2018/8/31 Writer:Sykai Function:利用扩展欧几里得求逆元 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 100; const int MOD = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef pair<int,int> P; //公式a?b+k?p=1中a即是a，p即是b ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } ll res = exgcd(b, a%b, y, x); y -= a/b*x; return res; } //公式a?b+k?p=1中a即是a，p即是mod ll getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元。如果不存在就返回-1 { ll x,y; ll res = exgcd(a,mod,x,y); return res = 1 ? (x%mod + mod)%mod:-1;//return res = 1?(x + mod)%mod : -1; } int main() { ll a = 5; printf("%lld\n",getInv(a,MOD)); return 0; }
二、费马小定理求逆元
复杂度：O(logn)
费马小定理： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。
a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p),则有a^(p-2)是a的对p取余时候的逆元
注意：当p是素数的时候一般选用费马小定理来求逆元。
代码：
/* Time:2018/8/31 Writer:Sykai Function:利用费马小定理求逆元 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 100; const int MOD = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef pair<int,int> P; ll qpow(ll a,ll b)//求a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)中a^(p-2) { ll res = 1; while(b) { if(b&1) res = res * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= 1; } return res; } ll getInv(ll a,ll mod) { return qpow(a,mod-2); } int main() { int a = 5; printf("%lld\n",getInv(a,MOD)); return 0; }
三、递推求逆元
复杂度：O(n)
注意：
1、mod需要是质数，求得是1~N关于mod的逆元。
2、适用于mod不是太大，且被多次调用。
3、程序开始前需要预处理打表。
代码：
/* Time:2018/8/31 Writer:Sykai Function:线性求逆元 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 100; const int MOD = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef pair<int,int> P; ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整 void getInv() { inv[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++) inv[i] = (MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD; } int main() { getInv(); printf("%lld\n",inv[5]); return 0; }
四、递归求逆元
复杂度：O(logn)
注意：mod需要是素数（中国剩余定理中不太好用）
/* Time:2018/8/31 Writer:Sykai Function:递归求逆元 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 100; const int MOD = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef pair<int,int> P; ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整 ll getInv(ll x) { if(x == 1) return 1; return (MOD-MOD/x)*getInv(MOD%x)%MOD; } int main() { printf("%lld\n",getInv(5)); return 0; }
五、求阶乘的逆元
代码：（不确定怎么用）
/* Time:2018/8/31 Writer:Sykai Function:递归求逆元 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 100; const int MOD = 1e9 + 7; typedef long long ll; typedef pair<int,int> P; ll inv[maxn];//数组的大小需要根据实际情况来调整 ll fac[maxn+1];//阶乘数组 ll qpow(ll a,ll b) { ll res = 1; while(b) { if(b&1) res = res * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= 1; } return res; } int main() { inv[maxn] = qpow(fac[maxn],MOD-2); for(ll i = maxn-1; i>=0; i--) { inv[i] = (inv[i+1]*(i+1))%MOD; } return 0; }
参考博客：
https://blog.csdn.net/baidu_35643793/article/details/75268911
https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386
标签：spl private 百度 ted set container .com ios keep
原文地址：https://www.cnblogs.com/sykline/p/9737741.html
