先验概率、后验概率、似然函数与机器学习中概率模型（如逻辑回归）的关系理解

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看了好多书籍和博客，讲先验后验、贝叶斯公式、两大学派、概率模型、或是逻辑回归，讲的一个比一个清楚 ，但是联系起来却理解不能

基本概念如下

• 先验概率：一个事件发生的概率 \[P(y)\]
• 后验概率：一个事件在另一个事件发生条件下的条件概率 \[P(y|x)\]
• 贝叶斯公式：联合概率公式直接能推导出来的，代表什么意义？不放在具体问题中代表不了任何意义 \[P(y|x) = \frac{{P(x|y)P(y)}}{{P(x)}}\]

拿一个实际的例子，如果用阴天预测是否下雨

• 先验概率：下雨的概率 \[P(rain)\]
• 后验概率：已经知道阴天，下雨的概率 \[P(rain|cloudy)\]
• 贝叶斯公式：表现了后验概率与先验概率的关系 \[P(rain|cloudy) = \frac{{P(cloudy|rain)P(rain)}}{{P(cloudy)}}\] 
• 把注意力集中在分子，公式可以理解为：阴天会下雨的概率（后验概率），不仅跟下雨那天的确是阴天的概率（条件概率）有关，还跟下雨本身的概率（先验概率）有关，如果下雨本身概率很低（先验概率=0），即便下雨一定阴天（条件概率=1），那么下雨的概率还是会很低（后验概率=0） \[P(rain|cloudy) = \frac{{P(cloudy|rain)P(rain)}}{{P(cloudy)}}\] 
• 把注意力集中在分母，公式可以理解为：阴天会下雨的概率（后验概率），不仅跟下雨并且是阴天的概率有关，还跟不下雨也是阴天的概率有关 \[P(rain|cloudy) = \frac{{P(cloudy|rain)P(rain)}}{{P(cloudy|rain)P(rain) + P)(cloudy|norain)P(norain)}}\]
• 似然函数：根据贝叶斯公式得出的先验概率与后验概率的关系参数 \[{P(cloudy|rain)}\] 由于已经知道是阴天了，忽略P(cloudy) \[P(rain|cloudy) \propto P(cloudy|rain)P(rain)\]

在很多文献中，将x与y分别描述为“因”和“果”，P(因)即为先验概率，P(因|果)即已经知道结果求原因的概率为后验概率，这里产生了第一个混淆点，在很多现实的例子里，“因”“果”是什么？因为阴天所以下雨？还是因为要下雨所以阴天？

在上面的例子里，显然只能解释为后者，即这天要下雨是“原因”，阴天是下雨的“结果”，下雨可能引发阴天，也可能引发不阴天。这个理解本身就很别扭。

在英文中，P(y)先验概率、P(y|x)后验概率、P(x|y)似然函数、P(x)分别的名称为：prior、posterior、likelihood、evidence，最后的P(x)连中文名称都没有，但我个人认为这个才是理解这些概念的关键。

先说说概率论两大学派，频率学派和贝叶斯学派，频率学派认为事件出现的概率是一定的，贝叶斯学派认为事件的概率也是存在分布的

• 频率学派：认为事件概率是确定的，所以重复实验解决一切问题，代表算法是最大似然估计MLE，这里常举的例子是硬币的例子，如果抛10次硬币，10次正面向上，则频率学派认为P(抛硬币正面向上)就为1.0。
• 贝叶斯学派：认为事件概率本身是有分布的，所以引入先验概率（分布）的概念，代表算法是最大后验概率估计MAP，如果认为硬币很可能是均匀的，如果抛10次硬币，10次正面向上，则贝叶斯学派认为P(抛硬币正面向上)是一个介于0.5-1.0之间的数。

这里是怎么跟上面的先验概率、后验概率、似然函数联系起来的呢，注意频率学派和贝叶斯学派都是参数估计的方法，所以要估计的不是正面或者反面向上，而是模型的参数，P(抛硬币正面向上)其实只是模型参数的一个表现。如果用“因果论”来解释，模型参数即为因，抛硬币结果为正面向上即为果。这里为了避免混淆，许多文献令模型参数为θ，区别于之前使用的y。

• 先验概率： \[P(\theta )\] 
• 后验概率： \[P(\theta |x)\]
• 似然函数： \[P(x|\theta )\]

基于这样的定义，推导两个学派的估计方法

• 频率学派：使用最大似然估计，即 \[\mathop {\arg \max }\limits_\theta  (P({x_1},{x_2},...,{x_{10}}|\theta ))\] 像硬币实验一样的独立重复实验可化简为 \[\mathop {\arg \max }\limits_\theta  (\prod\limits_i {P({x_i}|\theta )} )\] 直观理解也很好理解，如果抛10次硬币都是正面向上，那么最可能的估计当然就是这枚硬币只有可能正面向上（说不定两面都是正面）

• 贝叶斯学派：使用最大后验概率估计，即 \[\mathop {\arg \max }\limits_\theta  (P(\theta |{x_1},{x_2},...,{x_{10}})) \propto P({x_1},{x_2},...,{x_{10}}|\theta )P(\theta )\] 正好比最大似然估计多了一项P(θ)，即对应先验分布，直观理解即硬币可能两面都是正面，也可能一面重一些，也可能是均匀的，各种情况的（先验）概率不同，各种情况下10次抛硬币结果都正面朝上的（条件）概率也不同

目前还比较顺利，但回到刚才阴天下雨的问题，在机器学习任务中，我们一般是希望通过阴天来判断是否会下雨，那么模型对应的（表现）就是P(rain|cloudy)，这里用“因”到底应该对应模型参数？还是下雨？

接下来再看一个机器学习的典型模型——逻辑回归，在《统计学习方法》等文献中，逻辑回归模型如下（x为输入特征向量、θ为参数向量、y为预测结果）  \[P(y = 1|x) = \frac{1}{{1 + {e^{ - \theta x}}}}\] \[P(y = 0|x) = 1 - P(y = 1) = \frac{1}{{1 + {e^{\theta x}}}}\] P(y=1|x)与P(y=0|x)是该模型对于后验概率的估计，可以化简为 \[P(y|x) = {(\frac{1}{{1 + {e^{ - \theta x}}}})^y}{(1 - \frac{1}{{1 + {e^{ - \theta x}}}})^{1 - y}}\] 然后是用最大似然估计推导逻辑回归参数估计的过程 \[\mathop {\max }\limits_\theta  \prod\limits_i {{{(\frac{1}{{1 + {e^{ - \theta {x_i}}}}})}^{{y_i}}}{{(1 - \frac{1}{{1 + {e^{ - \theta {x_i}}}}})}^{1 - {y_i}}}} \] 

这推导表面上顺利的不得了，大家都这么写，仔细想想不对啊！似然函数是P(a|b)的话，后验分布应该是P(b|a)，两个怎么成了一回事？x、y、θ挤到一块，哪个是哪个？

所以个人认为用“因”“果”描述先验后验，不太合适。英文将P(x)描述为evidence，evidence有显性的意思在里面，如果用“显示的”“隐藏的”来描述，看是不是能顺畅点。

在阴天下雨模型中，我们知道今天是阴天，要推断的是是否要下雨，阴天是“显示的”，下雨是“隐藏的”，那么先验概率自然是P(下雨)，后验概率则为P(下雨|阴天)。

在硬币模型中，我们知道10次抛硬币结果是正面，要推断的是抛硬币结果模型，抛硬币结果是“显”，模型是“隐”，那么先验分布为P(模型)，后验分布为P(模型|10次抛硬币结果是正面)。

在逻辑回归模型中，模型的功能是根据输入x预测输出y，自然x是已知的，是“显”，y是要预测的，是“隐”，所以模型将决策函数假设为后验概率P(y|x)。但是在参数估计的过程中，输入的是训练数据，训练数据的x、y都是已知的，而模型参数θ才是未知的，所以x、y是“显”，θ是“隐”，所以此时的似然函数不是P(x|y)，也不是P(θ|x)，而是P(θ|x,y)，这样，最大似然估计的式子就可以推导出来了！

回头看逻辑回归的模型，其实假设的也不是P(y|x)，而是P(y|x,θ)。

所以其实预测和参数估计是两个过程，一个是概率过程，根据模型求概率（数据），一个是统计过程，根据数据（展现出来的概率）求模型，两个过程正好相反，这里是第二个混淆点。

举另一个实例，如果需要根据一个人是否咳嗽判断他是否有肺炎，那么“是否咳嗽”就是“显”，“是否有肺炎”就是“隐”；如果需要根据一个人是否有肺炎判断他平时是否咳嗽，那么“是否有肺炎”就是“显”，“是否咳嗽”就是“隐”，这哪有什么绝对的因果关系嘛。

菜鸡见解，还请大神多多斧正！

参考文献：

https://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981 

https://www.cnblogs.com/ldphoebe/p/5041813.html

https://blog.csdn.net/zjuPeco/article/details/77165974

https://www.zhihu.com/question/24261751

https://www.zhihu.com/question/27398304

先验概率、后验概率、似然函数与机器学习中概率模型（如逻辑回归）的关系理解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/jhc888007/p/9815720.html