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test20181107 猴子排序

时间：2018-11-07 18:41:33      阅读：175      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

标签：cstring   names   name   十分   mod   space   stdout   git   pow   

题意

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分析

考场做法

用\(s(n,i)\)表示长度为\(n\)的排列中出现\(i\)段连续块的方案数。

用隔板法枚举每块有哪些元素，减去由\(s(n,1) \sim s(n,i-1)\)中继续插板得到的多加的，得到
\[ s(n,i)=\binom{n-1}{i-1}-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1-(j-1)}{i-1-(j-1)}s(n,j) \]

然后设\(f(n)\)表示排列恰好分为\(n\)段连续块时所期望的步骤数，列出方程
\[ f(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}s(n,i)(f(i)+1)}{n!} \\frac{n!-s(n,n)}{n!}f(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}s(n,i)(f(i)+1)}{n!} \f(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}s(n,i)(f(i)+1)}{n!-s(n,n)} \]

最后统计答案
\[ ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}s(i)f(i)}{n!} \]

这个算法的瓶颈在于每次算\(s(n,1) \sim s(n,n)\)的复杂度是\(O(n^2)\)的。这样整个算法的时间复杂度\(O(n^3)\)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
//#include<algorithm>
#include<string>
#define co const
#define il inline
#define rg register
template<class T>T read(T&x)
{
    T data=0;
    int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;

co int MAXN=5e3+7,mod=1e9+7;
int fac[MAXN],ifac[MAXN];

int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    return x>=mod?x-mod:x;
}

int sub(int x,int y)
{
    x-=y;
    return x<0?x+mod:x;
}

int mul(int x,int y)
{
    return (ll)x*y%mod;
}

int qpow(int x,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res=mul(res,x);
        x=mul(x,x),k>>=1;
    }
    return res;
}

int div(int x,int y)
{
    return mul(x,qpow(y,mod-2));
}

int binom(int n,int m)
{
    return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}

int f[MAXN],s[MAXN];

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int n;
    read(n);
    fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        fac[i]=mul(i,fac[i-1]);
        ifac[i]=mul(mod-mod/i,ifac[mod%i]);
    }
    for(int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        ifac[i]=mul(ifac[i],ifac[i-1]);
    }
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
//      cerr<<"pro "<<i<<endl;
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            s[j]=mul(binom(i-1,j-1),fac[j]);
            for(int k=1;k<j;++k)
                s[j]=sub(s[j],mul(binom(i-k,j-k),s[k]));
//          cerr<<j<<" s="<<s[j]<<endl;
        }
        for(int j=1;j<i;++j)
            f[i]=add(f[i],mul(s[j],add(f[j],1)));
        f[i]=add(f[i],s[i]);
        f[i]=div(f[i],sub(fac[i],s[i]));
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=add(ans,mul(s[i],f[i]));
    ans=mul(ans,ifac[n]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

然后发现可以利用中间结果打表，耗时最多5000s，而我打完代码还剩三四十分钟的样子，不可能每个点跑到1s，所以就打了个表。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
//#include<algorithm>
#include<string>
#define co const
#define il inline
#define rg register
template<class T>T read(T&x)
{
    T data=0;
    int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x=data*w;
}
using namespace std;
typedef long long ll;

co int MAXN=5e3+7,mod=1e9+7;
int fac[MAXN],ifac[MAXN];

il int add(rg int x,rg int y)
{
    x+=y;
    return x>=mod?x-mod:x;
}

il int sub(rg int x,rg int y)
{
    x-=y;
    return x<0?x+mod:x;
}

il int mul(rg int x,rg int y)
{
    return (ll)x*y%mod;
}

il int qpow(rg int x,rg int k)
{
    rg int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res=mul(res,x);
        x=mul(x,x),k>>=1;
    }
    return res;
}

il int div(rg int x,rg int y)
{
    return mul(x,qpow(y,mod-2));
}

il int binom(rg int n,rg int m)
{
    return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}

int f[MAXN],s[MAXN];

int main()
{
    freopen("t1chart.in","r",stdin);
    freopen("t1chart.out","w",stdout);
    int n;
    read(n);
    fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(rg int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        fac[i]=mul(i,fac[i-1]);
        ifac[i]=mul(mod-mod/i,ifac[mod%i]);
    }
    for(rg int i=2;i<MAXN;++i)
    {
        ifac[i]=mul(ifac[i],ifac[i-1]);
    }
    f[1]=0;
    printf("0,\n");
    for(rg int i=2;i<=n;++i)
    {
        cerr<<"pro "<<i<<endl;
        for(rg int j=1;j<=i;++j)
        {
            s[j]=mul(binom(i-1,j-1),fac[j]);
            for(rg int k=1;k<j;++k)
                s[j]=sub(s[j],mul(binom(i-k,j-k),s[k]));
//          cerr<<j<<" s="<<s[j]<<endl;
        }
        for(rg int j=1;j<i;++j)
            f[i]=add(f[i],mul(s[j],add(f[j],1)));
        f[i]=add(f[i],s[i]);
        f[i]=div(f[i],sub(fac[i],s[i]));
        rg int ans=0;
        for(rg int j=1;j<=i;++j)
            ans=add(ans,mul(s[j],f[j]));
        ans=mul(ans,ifac[i]);
        printf("%d,\n",ans);
    }
    return 0;
}

最后的代码就59KB的样子，可以接受，于是时间复杂度成功降为\(O(1)\)

标解

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std有三份代码

第一份

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define FOR(i, l, r) for(int i = (l); i <= (r); i++)
#define REP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i++)
#define DFR(i, l, r) for(int i = (l); i >= (r); i--)
#define DRP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i--)

using namespace std;

#define DEBUG(arg...) fprintf(stderr, arg)

namespace FI {
    const int SIZE = 1 << 18 | 1;
    char buf[SIZE], *front, *back;

    void NextChar(char &c) {
        if(front == back) back = (front = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);
        c = (front == back) ? (char)EOF : *front++;
    }

    template<typename T> void NextNum(T & x) {
        char c; int f = 1;
        for(NextChar(c); c > '9' || c < '0'; NextChar(c)) if(c == '-') f = -1;
        for(x = 0; c >= '0' && c <= '9'; NextChar(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        x *= f;
    }
}

typedef long long LL;

const int maxn = 5000 + 47;
const int mod = 1e9 + 7;

int n, inv[maxn];
int f[maxn][maxn], g[maxn];

int fpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = 1LL * res * a % mod;
        a = 1LL * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    freopen("monkey.in", "r", stdin);
    freopen("monkey.out", "w", stdout);

    scanf("%d", &n);

    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;

    f[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = (1LL * f[i - 1][j] * inv[i] % mod + 1LL * f[i - 1][j - 1] * (j - 1) % mod * inv[i] + (j >= 3 ? 1LL * f[i - 1][j - 2] * (i - j + 1) % mod * inv[i] : 0)) % mod;
    
    g[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        g[i] = 1;
        for(int j = 2; j < i; j++)
            g[i] = (g[i] + 1LL * g[j] * f[i][j] % mod) % mod;
        g[i] = 1LL * g[i] * fpow(1 - f[i][i] + mod, mod - 2) % mod;
    }

    printf("%d\n", (g[n] - 1 + mod) % mod);
}

第二份

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define FOR(i, l, r) for(int i = (l); i <= (r); i++)
#define REP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i++)
#define DFR(i, l, r) for(int i = (l); i >= (r); i--)
#define DRP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i--)

using namespace std;

#define DEBUG(arg...) fprintf(stderr, arg)

namespace FI {
    const int SIZE = 1 << 18 | 1;
    char buf[SIZE], *front, *back;

    void NextChar(char &c) {
        if(front == back) back = (front = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);
        c = (front == back) ? (char)EOF : *front++;
    }

    template<typename T> void NextNum(T & x) {
        char c; int f = 1;
        for(NextChar(c); c > '9' || c < '0'; NextChar(c)) if(c == '-') f = -1;
        for(x = 0; c >= '0' && c <= '9'; NextChar(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        x *= f;
    }
}

typedef long long LL;

const int maxn = 5000 + 47;
const int mod = 1e9 + 7;

int n, inv[maxn];
int f[maxn][maxn], g[maxn];

int fpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = 1LL * res * a % mod;
        a = 1LL * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    freopen("monkey.in", "r", stdin);
    freopen("monkey.out", "w", stdout);

    scanf("%d", &n);

    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;

    f[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = (1LL * f[i - 1][j] * inv[i] % mod + 1LL * f[i - 1][j - 1] * (j - 1) % mod * inv[i] + (j >= 3 ? 1LL * f[i - 1][j - 2] * (i - j + 1) % mod * inv[i] : 0)) % mod;
    
    g[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        for(int j = 2; j < i; j++)
            g[i] = (g[i] + 1LL * (g[j] + 1) * f[i][j] % mod) % mod;
        g[i] = (g[i] + f[i][i]) % mod;
        g[i] = 1LL * g[i] * fpow(1 - f[i][i] + mod, mod - 2) % mod;
    }

    printf("%d\n", (g[n] + mod) % mod);
}

第三份

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define FOR(i, l, r) for(int i = (l); i <= (r); i++)
#define REP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i++)
#define DFR(i, l, r) for(int i = (l); i >= (r); i--)
#define DRP(i, l, r) for(int i = (l); i != (r); i--)

using namespace std;

#define DEBUG(arg...) fprintf(stderr, arg)

namespace FI {
    const int SIZE = 1 << 18 | 1;
    char buf[SIZE], *front, *back;

    void NextChar(char &c) {
        if(front == back) back = (front = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);
        c = (front == back) ? (char)EOF : *front++;
    }

    template<typename T> void NextNum(T & x) {
        char c; int f = 1;
        for(NextChar(c); c > '9' || c < '0'; NextChar(c)) if(c == '-') f = -1;
        for(x = 0; c >= '0' && c <= '9'; NextChar(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        x *= f;
    }
}

typedef long long LL;

const int maxn = 5000 + 47;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[maxn], g[maxn];
int h[maxn], s[maxn];
int l[maxn][maxn];

int fpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = 1LL * res * a % mod;
        a = 1LL * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int a, int b) {
    return (int)(1LL * f[a] * g[b] % mod * g[a - b] % mod);
}

int main() {
    freopen("monkey.in", "r", stdin);
    freopen("monkey.out", "w", stdout);

    scanf("%d", &n);

    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) f[i] = 1LL * f[i - 1] * i % mod;
    g[n] = fpow(f[n], mod - 2);
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--) g[i] = 1LL * g[i + 1] * (i + 1) % mod;

    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j < i; j++) {
            h[i] = (h[i] + 1LL * C(i - 1, j) * f[i - j] % mod * ((j & 1) ? -1 : 1) % mod + mod) % mod;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 1LL * C(i - 1, j - 1) * h[j] % mod * g[i] % mod;
        }
    }
    s[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        for(int j = 2; j < i; j++) s[i] = (s[i] + 1LL * (s[j] + 1) * l[i][j] % mod) % mod;
        s[i] = (s[i] + l[i][i]) % mod;
        s[i] = 1LL * s[i] * fpow(1 - l[i][i] + mod, mod - 2) % mod;
    }
    printf("%d\n", s[n]);
}

test20181107 猴子排序

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