标签：and break long bubuko main width col 卷积 math
题意：略。
思路：网上是用卷积或者做的，不太会。 因为上一题莫比乌斯有个类似的部分，所以想到了每个素因子单独考虑。
我们用C(x^p)表示p次减少分布在K次减少里的方案数，由隔板法可知，C(x^p)=C(K+p-1,K-1); 而且满足C(x)有积性，即gcd(x,y)==1时，有C(x*y)=C(x)*C(y);
所以C数组可以线性筛。 把筛素数的线性筛，稍微改一下即可，low[i]代表的是i的最小素数因子x的p次方，即x^p|i，p最大，num[i]代表的是幂次p。
那么g(x)=Σ f(a)*C(x/a)； g数组也可以线性筛。这里相当于手动卷积。
所以C和g函数分别线性筛即可。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define ll long long using namespace std; const int maxn=100010; const int Mod=1e9+7; int rev[maxn],f[maxn],ans[maxn],jc[maxn],fz[maxn],p[maxn]; int vis[maxn],low[maxn],num[maxn],C[maxn],cnt,N,K; int qpow(int a,int x){ int res=1; while(x){ if(x&1) res=(ll)res*a%Mod; a=(ll)a*a%Mod; x>>=1; } return res; } void getC() { cnt=0; rep(i,1,maxn) low[i]=num[i]=0; for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!vis[i]) p[++cnt]=i,low[i]=i,num[i]=1; for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<maxn;j++){ vis[i*p[j]]=1; if(i%p[j]==0){ low[i*p[j]]=low[i]*p[j]; num[i*p[j]]=num[i]+1; break; } low[i*p[j]]=p[j]; num[i*p[j]]=1; } } } int main() { jc[0]=1;rep(i,1,maxn-1) jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%Mod; rev[maxn-1]=qpow(jc[maxn-1],Mod-2); for(int i=maxn-2;i>=0;i--) rev[i]=(ll)rev[i+1]*(i+1)%Mod; getC(); int T; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&N,&K); fz[0]=1; rep(i,1,N) fz[i]=(ll)fz[i-1]*(i+K-1)%Mod,ans[i]=0; rep(i,1,N) scanf("%d",&f[i]); C[1]=1; rep(i,2,N) C[i]=(ll)C[i/low[i]]*rev[num[i]]%Mod*fz[num[i]]%Mod; for(int i=1;i<=N;i++){ for(int j=i;j<=N;j+=i) (ans[j]+=(ll)f[i]*C[j/i]%Mod)%=Mod; } rep(i,1,N-1) printf("%d ",ans[i]); printf("%d\n",ans[N]); } return 0; }
到此，引申一下有个题，给定N<1e7，K<1e9，求1^K+2^K+3^+...N^K。
这里由于K过大，显然不能用拉格朗日插值法。 我们用线性筛来做，如果i是素数，我们就快速幂求f[i]=i^K，否则就用之前的结果就好了，即f[i]=f[low[i]]^f[i/low[i]];
由于素数的个数大约=N/lgN; 而快速幂的复杂度是lgK。所以整个算法差不多是线性的。
HDU - 5628：Clarke and math （组合数&线性筛||迪利克雷卷积）
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/9925943.html
