标签：main   gis   sum   sqrt   --   play   include   inline   poi   

[POI2007]ZAP-Queries

题意简述：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。

Solution

很显然这是一个莫比乌斯反演题。
\[ ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=d] \]
然后我们设
\[ f(d)=ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=d]\g(x)=\sum_{x|d}f(d) \]
有
\[ f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(d) \]
因为
\[ g(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{i=1}^{b}[x|gcd(i,j)]=\sum_{i=1}^{a/x}\sum_{i=1}^{b/x}[1|gcd(i,j)]=\frac{a}{x}\frac{b}{x} \]
然后可以\(f(x)\)可以变成这样
\[ f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})\frac{a}{d}\frac{b}{d} \]
我们设\(t=\frac{d}{x}\),\(f(x)\)就成了这样
\[ f(x)=\sum_{t=1}^{min(a,b)}\mu(t)\frac{a}{dx}\frac{b}{dx} \]
此时\(f(x)\)已经可以\(O(n)\)计算了，但是由于多组询问，还需要采取数论分块的方式将时间复杂度优化到\(O(\sqrt{n})\)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
    char ch; bool ok;
    for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
    for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=5e4;long long ans;
int n,m,d,mu[maxn],prime[maxn],T,tot;bool vis[maxn];
void prepare()
{
    mu[1]=1;
    for(rg int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(rg int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {mu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=maxn;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
int main()
{
    read(T);prepare();
    while(T--)
    {
        read(n),read(m),read(d);if(n>m)swap(n,m);
        ans=0;
        for(rg int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            long long t=1ll*(n/i/d)*(m/i/d);
            ans+=t*(mu[j]-mu[i-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

[POI2007]ZAP-Queries

标签：main   gis   sum   sqrt   --   play   include   inline   poi   

原文地址：https://www.cnblogs.com/lcxer/p/10221239.html